几何代数及其在飞行力学中的应用

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1、第22卷第4期飞行力学Vol.22No.42004年12月FLIGHTDYNAMICSDec.2004文章编号:100220853(2004)0420060205几何代数及其在飞行力学中的应用112邹晖,陈万春,殷兴良(1.北京航空航天大学宇航学院,北京100083;2.中国航天科工集团,北京100830)摘要:介绍了几何代数的基本知识,比较了几何代数与矢量代数、四元数的区别和联系,并推导了它们在表示旋转时的互相转换关系,展示了几何代数在描述空间旋转变换时的便利。最后通过相对姿态运动的分析,展示了几何代数在飞行力学中应用的可行性。关键词:几何代数;飞行力学;四元数;旋转

2、中图分类号:TJ760112文献标识码:A引言(Geometricproduct)如下:1(i=j)eiej=(1)在飞行力学中,为了描述问题方便,往往要同时-ejei(i≠j)用到几种不同的代数系统,如矢量代数、复数或者四并且运算满足分配律和结合律。元数、矩阵代数以及张量代数等。这些代数系统一般根据几何乘积的性质,可知由集合G={e1,e2,都自成体系,互相转换时不是很方便,有时候还容易e3,e1e2,e2e3,e3e1,e1e2e3}张成一个维数为8的线性空造成混淆。几何代数(GeometricAlgebra)是间V,且G为V的一组基。以几何乘积为代数乘,则Gras

3、smann代数和Clifford代数的一个现代发展。V可以构成一个结合代数,记为G3,称之为三维空在几何代数中,可以将矢量、四元数、张量等都统一间的几何代数,简称几何代数。G3中的元素通常称到同一个代数框架内,免去了相互转化的麻烦。而为多重矢量(multivector)。3且,几何代数中的量都有很直观的几何意义,很容易显然,R为G3的一个子空间。而由{e1e2,e2e3,[1]e理解。几何代数应用非常广泛,可以用于描述相对3e1}也张成一个维数为3的子空间,其元素称为双论力学[1]、弹性动力学、机器人学、计算机视觉和图(重)矢量(bivector)。由{e1e2e3}张

4、成的一维空间中形学等诸多领域,甚至已经有人致力于将几何代数的元素称为三重矢量(trivector),在G3中,由于其[2]代数属性与标量空间{1}类似,所以也称为伪标量作为物理学和工程领域统一的数学语言。本文主要是介绍一些几何代数的基本知识,并(pesudoscalar),并用符号I来表示单位伪标量,即尝试将几何代数方法应用于飞行力学建模,探讨一I=e1e2e3。下这种新工具在飞行力学中应用的可行性。G3中的普通多重矢量可以由标量、矢量、双矢量、伪标量多部分组成。可以用等级(grade)表示对1基本定义象中独立矢量的数目,并规定标量的等级为0。G3中多重矢量的最高等级为

5、3。因此对于普通多重矢量M,可以按照等级进行分解,即111代数构造M=〈M〉+〈M〉1+〈M〉2+〈M〉3(2)3设{e1,e2,e3}为R的自然基底,定义几何乘积式中,〈·〉i表示取等级为i的部分,〈·〉0可以简写收稿日期:2003210228;修订日期:2004209222作者简介:邹晖(19772),男,湖南新化人,博士研究生,主要从事导弹制导系统设计与仿真研究。第4期邹晖等.几何代数及其在飞行力学中的应用61[1]3为〈·〉。式(2)通常也写成如下形式:00M=∑〈M〉i(11)M=A+a+B+BI(3)i=0式中,A为标量;a为矢量;B为双矢量。(后文中如不另

6、一种是对合(involution),定义为:dr作特殊声明,通常用普通小写字母表示标量,黑体小Ar=(-1)Ar(12)写字母表示矢量,用大写字母表示双矢量或多重矢113几何意义量)。如果M=〈M〉r,则称M为一个blade,简记为几何代数中的量都有明确的几何意义,标量和Mr。前述的标量、矢量、双矢量和伪标量实际上都是矢量的几何意义与矢量代数相同,双矢量表示空间blade。中的一个平面元,而三重矢量则表示空间中的一个112代数运算体积元。如图1所示。用几何乘积,可以导出两种重要的运算,缩并[3](与内积相似,但比内积有更好的属性)和外积。对于两个普通矢量a,b,写成分量

7、形式为:33a=∑aiei,b=∑bieii=1i=1则a,b的几何乘积可以表示为:ab=ab+a∧b图1几何代数元素的几何意义其中:ab=a1b1+a2b2+a3b3(5)a∧b=(a2b3-b3a2)e2e3+(a3b1-a1b3)e3e1+2偶代数与旋转(a1b2-a2b1)e1e2(6)式(5)表示矢量的缩并运算,而式(6)则表示外211对偶关系积运算。可以看出,a∧b的分量部分与矢量代数中由式(6)两边同乘以单位伪标量I可得:的叉乘相同,但不同的是它是一个双矢量,而叉乘的-I(a∧b)=a×b(13)结果则为矢量。式中,“×”表