线性代数第五章练习及解答

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1、5第五章练习题−1221.设A=2−1−22−2−1(1)求矩阵A的特征值(2)求矩阵E+A的特征值−1−22解；(1)特征多项式为2−1−−2=(+5)(−1)2,于是特征值为=−5;==11232−2−1−(2)注意到(A+E)=A+=(+1),于是A+E的特征值为1=−4;2=3=20012.设A=x1y有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件100−01解：特征多项式为x1−y=−(1−)2(+1)10−注意到属于不同特征值的特征向量线性无关，于是对于特征值=1必须对应

2、两个线性无关的特征向量，因为=−1只能对应一个特征向量，由于−101−101Rx0y=R00y+x于是y=−x即可10−10003.设1;2为n阶矩阵A的特征值，且1̸=2,而1;2是对应的特征向量，证明1+2一定不是A的特征向量解：反证若否，则A(1+2)=(1+2),注意到(1−)1+(2−)2=0由于1;2线性无关，因此1==2与题设矛盾4.设A为正交矩阵，且

3、A

4、=−1,证明：A有一个特征值为=−1证明：因为A+E=A+AAT=A(A+E)T，那么

5、A+E

6、(1−

7、A

8、

9、)=0，于是

10、A+E

11、=0,即=−1是A的一个特征值5.设A;A;A是3个非零的n阶矩阵n≥3,满足A2=A(i=1;2;3),且AA=O(i̸=j;j=1;2;3)123iiij证明：(1)Ai的特征值有且仅有1和0;(2)Ai对应于特征值1的特征向量是Aj的对应于特征值0的特征向量；(3)若1;2;3依次是A1;A2;A3的对应于特征值1的特征向量，则向量组1;2;3线性无关.证明；(1)若是矩阵A的特征值，则A=,又A2=2,于是(−1)=0即特征值是0或1iii1若A有非零和1的特征值，由于2−=0,故有且仅有0和

12、1为特征值i(2)若Aj=;那么Ai(Aj)=Aii,即Ai=0(3)反证，若三个向量线性相关不妨设3=k11+k22那么A33=k1A31+k2A32,由(2)知A3j=0(j=1;2)那么3=0与特征向量的定义矛盾2002006.已知矩阵A=001与B=0y0相似，求x与y的值，并求可逆矩阵P使得01x00−1P1AP=B解：由于矩阵相似有相同的特征多项式于是2−002−000−1=0y−001x−00−1−通过比较的同次幂的系数，得x=0;y=1,而矩阵B的特征值为2;1;−1将这些特征值分别

13、代入方程(A−E)X=0,得特征向量为=(1;0;0)T;=(0;1;1)T;=(0;1;−1)T于是所求的矩阵为P=123(123),容易验证P1AP=B7.已知三阶矩阵A的特征值为1;−1;2，设矩阵B=A3−5A2,求(1)矩阵B的特征值及其相似标准形；(2)行列式

14、B

15、及

16、A−5E

17、解(1)因为A有三个互异的特征值，故存在可逆矩阵P使得1P1AP=−1223111于是A=P−1P1;A2=P−1P1;A3=P−1P122215−4那么B=A

18、3−5A2=P−1P1−P5P1=P−6P1820−12−4于是P1BP=−6−12那么B的特征值为−4;−6;−122(2)

19、B

20、=−(4·6·12)=−288注意到B=A3−5A2=(A−5E)A2;

21、B

22、=

23、A−5E

24、·

25、A

26、2;

27、A

28、=−2,于是jBj

29、A−5E

30、=jAj2=−728.设A是三阶实对称矩阵=−1;==1是其特征值，对应于的特征向量为=(0;1;1)T12311求矩阵A.解设对应于特征值==1的特征向量为=(x;x;x)T,于是0=[;]=x+x=0,那么相231231

31、23应的特征向量为=(1;0;0)T;=(0;1;−1)T,那么A=,即23jjj−1A(1;2;3)=(1;2;3)1,那么1−1A=()1()11231231100=00−10−109.设n阶实对称矩阵A满足A2=A,且R(A)=r,求行列式

32、A−2E

33、的值解:注意到若是A的特征向量，则A=;A2=2于是A的特征值只能是0或者1，由于R(A)=r相应于0的特征向量的个数为n−r个,相应于1的特征向量为r个()1ErO∆那么存在可逆矩阵P使得PAP==OO

34、

35、A−2E

36、=

37、PP1−2E=

38、PP1−2P