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《初二数学下册难题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O．（1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．（1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；（2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中,①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为
2、t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm,ab≠0）,已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式．答案（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,∵EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA=OC,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形,②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=（8-x）cm,在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+（
3、8-x）2=x2,解得x=5,∴AF=5cm．（2）①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,∴PC=5t,QA=12-4t,∴5t=12-4t,解得t=4/3,∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3秒．②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的
4、四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：i）当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；ii）当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；iii）当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12．综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．2.某数学兴趣小组开展了一次课外活动,如图1,正方形ABCD中,AB=6,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q．
5、（1）求证：DP=DQ；（2）如图2,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明；（3）如图3,固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB：AP=3：4,请帮小明算出△DEP的面积．分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连
6、接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．答案解：（1）GF⊥EF，GF=EF。（2）GF⊥EF，GF=EF成立。理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°。∴∠EAF+∠CDF=4
7、5°。∵∠CDF+∠GDF=45°，∴∠FDG=∠EAF。∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°。∴∠GD
8、F=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，∠EAF=360°﹣∠BAE
