Fourier积分算子在Herz型空间上的有界性

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1、湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果．除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担．作者签名：刊雨寝日期：卸g年手月膳El学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅．本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印

2、、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文．本学位论文属于1、保密口，在年解密后试用本授权书．2、不保密团．(请在以上相应方框内打“／”)作者签名：列雨霞导师签名：乌琳日期：M‘年日期：工Dd6年F月旭日I-月I占日硕士学位论文第1章绪论1．1问题研究的背景以及意义自六十年代中期以来，随着偏微分方程理论的发展，出现了拟微分算子和Fourier积分算子的理论．它们为研究线性偏微分方程中的许多经典问题，以及一般线性微分算子理论提供了强有力的工具．并且，随着这一理论进一步的发展，逐渐被应用到非线性偏微分方程以及其他学科[1-5]．随着Fourier积分算子理论对偏微分方程及其相关

3、领域所起到的巨大的推动作用，反过来又促使Fourier积分箅子理论进一步发展．例如：考察波动方程的Cauchy问题【6lI象一c2(△u)=0，

4、(1．3)J或者更为一般地，由形如Af(x)=／／eiS(撕￡)o(z，Y，∈)，(Ⅳ)由武(1．4)J的算子表示出(在(1．3)及(1．4)中我们省略了参数t)．由此可以推想，这类算子在双曲型方程的Cauchy问题求解中起着很重要的作用，与利用Fourier变换方法处理常系数方程相仿．从一定意义上来说．Fourier积分算子是为处理变系数方程问题而产生的现代工具，它在变系数方程中所起的作用，与Fourier交换在常系数方程中所起的作用有些类似．当然，尽管Fourier交换是这种算子的一个特例(当s(z，f)=(。，f)，n(z，f)=1时)，这类算子一般说来要比Fouri

5、er变换复杂得多．对于拟微一1一Fourier积分算子在Hel：z型空间上的有界性分算子，是处理椭圆型微分方程问题的有利工具，其适当的变形还可以用来处理某些双曲型问题．但对于真正的非椭圆问题就需要研究Fourier积分算子．对于定义如下的Fourier积分算予：Tf(x)=／e2“蕾忙X)a(x，∈)，(∈)越，(1．5)JRn其中振幅函数a(x，∈)∈s品，且a(x，f)关于X紧支，相函数垂是实值的，关于∈正齐一次函数且垂(。，∈)关于(z，∈)在∈≠0与a的支集的交集处光滑．同时西满足非退化条件，即在∈≠0与a的支集的交集处有aet(鑫)≠。称这种算子为m阶Fourie

6、r积分算子．1970年，G．I．Eskin州通过证明T+T是0阶拟微分算子，得到了Fourier积分算子r在驴上的有界性．类似地，讨论了p阶Fourier积分算子从瑗舡到L：一。，l。是有界的，其中鹾舡表示局部Q阶Lp—Sobelov空间．1973年，W．Littman【8】使用稳定位相法，证明了位相函数圣(。，Y，∈)=+Itl(波方程的解就是这种形式的Fourier积分算子)时肛阶Fourier积分算子在护上的有界性，其中p≤一∞一1)·11／p一1／21，1

7、积分算子从护到工尸，有界性．随后，Petal110】，M．Beals[tl】和Miyachi[121讨论了波方程与相关Fourier积分算子也是这样的．1985年，仇庆久f13'141分别讨论了一类Fourier积分算子在Besov空间上的有界性和扩上的估计．1986年，他又在文献【151中讨论较一般条件下的Fourier积分算子保持p有界性问题．对于与局部典则象有关的一般的Fourier积分算子，AndreasSeeger，Churisto-pherD．Sogge和EliasM．Stein1161通过Fourie