一类带可变核的奇异积分算子在某些空间上的有界性

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1、(iii)Whenthekernelssatisfysomegivenconditions，thesingularintegraloperators五2withvariablekernelsareboundedfromHerztypeHardyspacesHj鳄’p(R”)tothemselves；(iv)Undersimilarconditions，thefractionalintegraloperators丑ⅦwithvariablekernelsareboundedfromⅣ崤m(舭)to日蠕92(辩)(whereq2satisfies西1=1一筹)

2、．Keywords：variablekernel；singularintegraloperator；Hardyspace；HerztypeHardyspace；boundednessiii学位论文独创性声明本人声明'所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果．文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可．论文内容未包含法律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成果．本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果．敝⋯名z衙馅⋯砷⋯月g日学位论文知识产权权属声明本人在导师指导下所完成的学位论文及相关

3、的职务作品，知识产权归属学校．学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利．本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛大学．本学位论文属于，保密口。在年解密后适用于本声明．不保密∥(请在以上方框内打”／”)论文一名：池养骛日期；砷年『D月8日导师签名一日期，7．o-o'7年／口月彦日，(本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用)¨上g引言引言经典的奇异积分算子来源于Hilbert变换：Hf(班舢{C磐匆．在高维的情形下，即Riesz变换tR，-f(加p肌G上。毒斋尥)妣

4、歹-1曩⋯^在一维的情形下，Hilbert变换是唯一的一个奇异积分算子，而且Hitbert变换与单参数的伸缩是可交换的．基于这个事实，Calder6n与Zygmund首先研究了高维空间中与伸缩可交换的算子，即Riesz变换的推广一一卷积算子Tf(z)=K母，($)=p．口．／K(x—y)，(耖)dv，得到了著名的Calder6n-Zygmund理论．系统地说，从五十年代初Calder6n和Zygmund的工作以来，奇异积分算子已经经历了三代．第一代的奇异积分算子即如下的用主值定义的卷积算子删=溉L。矧舳№，其中Q(z)是零次齐次函数，在舻的单位球面伊。上有

5、稍强的连续性，且／Q(z)如(z)=0，这种卷积型奇异积分算子主要应用予偏微分方程中的常Jsn一1系数线性(椭圆型)方程．第二代的奇异积分算子是伪微分算子吖(。)_咖lira惦fI>。m洲s，)回，其中K(x，Y)=L(x，z一耖)，L(霸2)满足相应的条件。伪微分算子在变系数的偏微分方程中有重要的意义．1青岛大学硬士学位论文奇异积分算子的第三代开始于对Calder6n-Zygmund算子的研究，它可以完全是非卷积型的，因此不能统一用积分主值定义，但它包括了卷积型的奇异积分算予以及主要的伪微分算子．现在第一代奇异积分中的经典的Calder6n-Zygmun

6、d算子在各个函数空间中的有界性已经基本得到解决．这里所研究的带可变核的奇异积分算子以及分数次积分算子是属于第二代奇异积分算子．我们先介绍一下这类算子的定义，然后给出已有的这两类算子的有界性的部分结论．设铲_1是R”@≥2)中的球面。称定义在舻×珏P上的函数Q(z，z)属于L。(融‘)×L’pn-1)(r≥1)是指n(x，名)满足；(i)对任意的。，z∈ⅡP及A>o，Q(z，Az)=Q(。，z)；(H)llQl{p(舻)×L唯”-1)：21鉴I丘⋯}Q(z，7)lr曲(ZI))<∞·，、r定义0．1．对0<弘

7、帮f(Y)dy，JR“lo一占，l其中Q(。，Z)∈二。(R“)xL7(S”一1)．当弘=0时，上述积分取柯西主值，算子成为带可变核的奇异积分算子，简记为五l，即Tnf(班厶警铲f(v)dr，这时要求Q(z，2)满足：对任意的z∈郧，／Q(z，zt)da(z')=0．(0．1)容易看出，当z固定时，可变核的奇异积分算子与分数次积分算子分别成为带齐性核或粗糙核的奇异积分算子和分数次积分算子．一般说来，讨论奇异积分算子与分数次积分算子在Hardy空间上或Herz型Hardy空间的有界性时，需要对核函数增加某种光滑性条件．在各种光滑性条件中，Dini条件是较弱的

8、一种，Dini条件是利用核函数的连续积分模来给出定义的．定义0．2