半无界区间上KdV-Burgers方程初边值问题

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1、第一章引言及主要结论本文主要考虑如下形式的半无界区问上非线性KdV-Burgers方程初边值问题：{m一“一+“一z+”“z。o，z，‘20(1．1)lⅡ(z，0)=妒(z)，u(o，t)=lIl(f)，z，t≥0、’上述方程可以用来描述不可压缩流体表面波的运动和其它一些物理现象，在实际中有着重要作用，许多数学家和物理学家都对它进行过深入的研究。其背景、边值问题、初值问题和行波解的相关结果可见参考文献。文献【1】及其它参考文献分别研究了方程(I．1)的解的正确解法及方程解的相关线性估计。在文献f21中Bona等考虑TKdV方程初边值问题(1．1)在四分之一平面上解的局部存在

2、性，证明了当s>一i1时方程初边值问题的解的局部存在性；在文献[2lqb给出TKdV-Burgers方程的一类显式精确解。本文主要目的是研究半无界区间上非线性KdV-Burgers方程初边值问题(1．1)取值在分数阶Sobolev空间H。(R+)中低正则解的局部适定性。我们首先利用Laplace变换得到半无界区间上线性KdV-Burgers方程初边值问题(齐次边界条件){ut一‰机一．0，x,t≥0(1．2)I“(z，0)=≯@)，t‘(o，t)=0，￡，t≥0、。解的显式表达式¨乞(￡№(具体参见定理2．1)，以及线性KdV-Burgers方程初边值问题(非齐次边界条件)

3、{ut一％籼一20，x,t≥0(1．3)It‘(z，0)=0，“(o，t)=_Il(￡)，z，t≥0、’解的显式表达式Wb(t)(h)(具体参见定理2．2)利用所得到的二个解的显式表达式，结合调和分析技巧和函数空间理论，我们得到线性KdV-Burgers方程初边值问题(1．2)和(1．3)解的各种时间一空间估计和光滑性估计(引理3．4．引理3．10)，这些时一空估计说明线性Kdv-Burgers方程初边值问题与初值问题相类似有着提高解的光滑性的作用。作为所得光滑性估2半无界区问上KDv．BURGERS方程初边值问题计的应用，利用压缩映射原理本文证明了半无界区间上非线性KdV

4、-Burgers方程低正则解的局部存在性及解的其它一些重要性质。我们在本文取得的主要结论是：对于给定的T>0&s>3／4F1L)Ls相容r定义见第四章)的函数对西∈伊(尺+)和^∈H(1+。)／3(o，T)，存在仅仅依赖于II≯IIH，(R+)+lIhllH(-+-)，，(o．n的T’r其中o

5、计。在第四章中我们利用压缩映射原理证明了初边值问题(1．1)低正则解的局部存在性。第二章线性表达式在本章中，我们首先给出线性KdV-Burgers方程初边值问题解的显示表达式。考虑如下齐次线性KdV-Burgers方程的初边值问题像--U剐zz-{-U㈤zxx0，刨u(ojt富0(2-)【u(z．)=妒(￡)，，)=、’根据半群理论，我们可以得到方程(2．1)的解有如下形式的表达式u(t)=H，c(￡)妒，其oowo(t)表示定义在L2(R+1上的Co半群，它是由算子A，=一，”7一／所产生的，其定义域为D(A)={f∈H3(胪)I，(o)=o}．由达朗贝尔公式，非齐次线性

6、KdV-Burgers方程初边值问题{X孑三；j名0五眨。仁。，Iu(z，o)=o，u(o．￡)=。z‘2’的解可表达为u(f)=Z‘瞰(￡叫，(．r)dr．(2．3)下面的定理给出Tw,(t)4,掣J-个显式表达式。定理2．1．齐次线性Kdy—Burgers：方程(2．jJ初边值问题的解H，c(￡)毋可以表示成如下形式j‘毗(￡)庐(z)=∑(哆(￡)≯(z)+可可i丽，4半无界区问上KDV-BURGERS方程初边值问题其中时㈣毋(z)=去Z。e砉¨∥¨；诎e(扣m?oe-,{川锹∈)武中+斟计(t)毋(z)=盼(f)≯(z)=与垄e(一p3j“2)c(一3旷+缸)譬e业

7、丘手正翌扛一。曲(f)必∥研型叫互至一j≥Z。e寺f+l矿I+§讪￡e!=j6ii；i；圣星臣2Z。e一({+‘一K妒({)d∈中去Z。扣¨扣e—乎。Z”e喝诎绯脚+熹Z5e(．～)te—季盈z×(一3p2+2p)Z。e一生z±乒‘≯幢)d∈dp证明：i己v(z，A)为函数u(z，￡)关于时问t做Laplace变换后所得到的函数，在(2．1)式中方程两边关于时间t做Laplace变换可以得到{：苗嚣0一麓!叫0’够。；二佃仁t，【u(o)=，"，地。够。_+∞、7可以知道u具有如下形式的表达式u(z)=／G(z，。