四元数分析中无界域上正则函数的线性边值问题.pdf

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1、第４０卷第２期西南师范大学学报（自然科学版）２０１５年２月Ｖｏｌ.４０Ｎｏ.２ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｆｅｂ.２０１５DOI：１０.１３７１８／ｊ.ｃｎｋｉ.ｘｓｘｂ.２０１５.０２.００５①四元数分析中无界域上正则函数的线性边值问题鄢盛勇成都师范学院数学系，成都６１１１３０摘要：引入修正的Ｃａｕｃｈｙ核函数，讨论了四元数分析中无界域上正则函数的一类线性边值问题．把该边值问题转化为积分方程，利用压缩映射不动点定理证明了该问题解的存在唯一性．关键词：四元数分析；正则函数；无界域；线

2、性边值问题中图分类号：O175.27文献标志码：A文章编号：１０００５４７１（２０１５）２００２００６四元数分析是近代分析的重要分支，它有非常重要的理论意义和应用价值，如在Ｍａｘｗｅｌｌ方程、［１－２］Ｙａｎｇ‐Ｍｉｌｌ场理论以及量子力学等方面都有应用．近年来，国内外许多学者研究了四元数分析中有界域［３－１２］上的一些奇异积分算子，并考虑了其中的一些边值问题．但很多实际问题是在无界域上提出来的．文献［１３］考虑了四元数分析中无界域上的Ｐｏｍｐｅｉｕ公式、Ｃａｕｃｈｙ积分公式以及Ｐｌｅｍｅｌｊ公式．文献［１４－１５］考虑了Ｃｌｉｆｆｏｒｄ分析中无界域上的一些积分算子和边值问题．在

3、此基础上，本文考虑了四元数分析中无界域上正则函数的一类线性边值问题：＋－＋－a（t）（t）＋b（t）（t）＋c（t）（t）Ψ＋d（t）（t）Ψ＝e（t）Ψt∈抄GΨ（１）推广了文献［１０，１２］中的一些结果．1预备知识及引理令H表示四元数代数，它是以１，i，j，k为基元的４维实向量空间，且基元满足２２２i＝j＝k＝－１ij＝－ji＝kH中的元表示为z＝x１＋x２i＋x３j＋x４k或者z＝z１＋jz２２其中z１，z２∈C，并满足jz２＝z２j．故H也可看成２维复空间C．设G是H中的一珔个区域，f：GH，f（z）＝f１（z）＋jf２（z）是四元数函数，其中f１（z），f２（z）是定

4、义在G上的复值函数．定义算子抄抄抄z＝２＋j抄z１抄z２其共轭算子为①收稿日期：２０１４０４１２基金项目：教育部科学技术研究重点项目（２１２１４７）．作者简介：鄢盛勇（１９７５），男，四川井研人，副教授，主要从事函数论与偏微分方程研究．第２期鄢盛勇：四元数分析中无界域上正则函数的线性边值问题２１抄抄抄z＝珔２－j抄z１珔抄z２珔有抄z抄z＝珔抄z抄z＝Δ珔．１若四元数函数f（z）∈C（G），且满足方程抄zf＝０，则称f（z）是区域G内的（左）正则函数．以后我们设区域G是一个无界区域，其边界抄G光滑或分片光滑，其补集H＼G包含一珚非空开集，并设y∈H＼G是固定点珚．记１１ζ－z珔

5、ζ－珔y珔珔Cy（，z）＝抄z２ζ－珔抄y２＝珔２４－４r（，z）rζ（，y）ζ－zζ－yζ称Cy（，z）为无界域ζ上的Ｃａｕｃｈｙ核函数，其中r（，z）＝－zζ．记C（ζ抄G）为由有界βＨ迸ｌｄｅｒ连续函数所构成的函数集，其Ｈ迸ｌｄｅｒ指数为（０＜＜１）．定β义范数β‖‖＝C（，抄G）φ＋Hβ（，抄φG，）φβ其中C（，抄G）＝ｓｕｐ（t）φφt∈抄GH（，抄G，）＝ｓｕｐφ（t１β）－（t２）φφβt１≠t２，t１，t２∈抄Gt１－t２显然，C（抄G）构成一个Ｂａｎａｃｈ空β间，且‖１＋２‖≤‖１‖＋‖φ２‖φβφβφβ‖１２‖≤‖１‖‖２‖φφβφβφβ［１３］１引理1设

6、f（z）∈C（G），且满足珚n－s－n抄zf（z）≤L０zn＝０，１；s∈（０，＋∞）L０是一个与G中的元素z无关的正常数，则珚１１f（z）＝４π２∫抄GCy（，z）f（）dS－４π２∫GCy（，z）［抄ζf（）η］ｄζζζ（２）其中是G的边界抄G在点的外法方向单η位向量．ζ［１３］引理2设f（z）在G内正则，且珚－sf（z）≤L０zs∈（０，＋∞）则１f（z）z∈G４π２∫抄GCy（，z）f（）ｄS＝ζηζζ（３）０z臭G定义1设f（）是定义在抄G上的四元数函数．称积分ζ１（z）＝４π２∫抄GCy（，z）f（）ｄSΨζη为无界域上的Ｃａｕｃｈｙ型积分．容易验证Ｃａｕｃｈｙ型积

7、分（z）在抄G外正则．Ψ［１３］引理3当t∈抄G时，在Ｃａｕｃｈｙ主值意义下有１１４π２∫抄GCy（，t）ｄS＝２ζ［１３］引理4设f（）∈C（抄G）０＜＜１ζβ且－sf（）≤L０s∈（０，＋∞），∈抄Gζζ±则在Ｃａｕｃｈｙ主值意义下，Ｃａｕｃｈｙ型积分（z）的极限值（t）存在，并且Ψ±１（t）＝（t）±f（t）Ψ２２２西南师范大学学报（自然科学版）ｈｔｔｐ：／／ｘｂｂｊｂ.ｓｗｕ.ｃｎ第４０卷2无界域上的线性边值问题＋－２±记＝Ω，＝ΩCΩ＼；a，bΩ，c，d，e为抄G上给定的函数，求满