半环上的赋值与实赋值

《半环上的赋值与实赋值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、ABSTRACTIIltbjsp印er，thenotionsofValuationsandrealvaluationsareintroducediIl也ecateg。ry。fcommutativesemiringswithunits．Somebasicresults0nVal戚0nSandrealvalmti0璐ofsemiringsareestablished．Moreover,theeompatibi脚b帆咖0rde渤gsandvaluationsisin仃oducedforacommutativesemiring·Asa鹏cess哪aIldsumcientconditio

2、玛itisprovedthatavaluationisrealifandonlyifitiscompatiblewithsomeordering．Keywords：Valuation；realvaluation；fractionsemiring；positiveprecone；Positivecone；ordering；compatibility．mⅣ引言与预备知识1．1引言第1章引言与预备知识赋值理论可以看成是代数拓扑的一个分支，赋值理论的发展跨越了近百年的历史。关于域上赋值的理论已经成为域论的一个重要组成部分，同时作为一种重要工具被应用于其它数学分支，例如数论，代数函数以及

3、代数几何理论等。关于域上赋值的论述可见于专题论文[1_4】。文献【5】中，P．Samuel把“位"这一概念引进到交换环的范畴中，由此开创研究环上赋值的先河。1969年，M．Manis[61在交换环上引进赋值的概念，这种引进的赋值在当今的一些文献中被称为Manis赋值。Manis赋值得到广泛的应用，许多与Manis赋值相关的概念和结论得以建立。此外，一些其他形式的赋值也被引入到交换环的范畴内。1989年，D．K．Harrison和M．A．Vitullirn三jI进了环上V．赋值的概念。戴执中在文【8】中，借助于P．Samuel[5】和M．Manis[61在环上所引进的位和赋值的概

4、念，成功地在环上建立了实位和实赋值，从而在环上得到了与实域理论全然类似的有关结果。2002年，张的根【9j引进了一个更为一般的赋值即环上M．赋值，M．赋值蕴含了Manis赋值以及形式有限的v．赋值。2006年，曾广兴和杨谱【10l在以交换环为基环的模上引进了赋值的概念。随后，曾广兴把实位和实赋值引入到模的范畴中，并讨论了模的赋值与序的相容性问题，得出了许多全然类似于环上实赋值的结果。2007年，敖忠平和陈培慈【ll】在交换半环上定义了序的概念，并给出了半实半环的定义。在本文中，我们在有单位元的交换半环上引入了赋值的概念，由此建立了一些有关半环赋值的基本理论。在此基础上，我们进一

5、步在半环上引入了实赋值的概念，并获得一些与半环的实理想相关的结论。此外，我们研究了赋值与亚序和序的相容性，建立了一个赋值是实赋值的充分必要条件。本文的结果可看作把文『81和[121的有关结论在半环上的推广。1．2预备知识本文所研究的半环，除特别约定只含一个零元的半环{0)称为零半环外，均指含加法零元0和乘法单位元1的交换半环(S，+，·，0，1)，其中(S，+，0)与(S，·，1)都是可换幺半群，0≠1，“·”对于“+”满足“左"、“右"分配律，并引言与预备知识且0·x=0，Vx∈S。半环(S，+，·，0，1)常简称半环S。依泛代数的观点，半环S的子半环都假定与S具有同一加法零

6、元0和乘法单位元1。半环S的一个真理想矽称作S的一个素理想，若由关系式ab∈矽，其中a，b∈S，可推出a∈舻或b∈舻。半环S的一个真理想舻称作S的一个严格素理想，若由关系式口6+，7∈矽，其中a，b∈S且叩∈矽，可推出a∈舻或b∈矽。与环一样，半环S的一个子集M称作乘法闭子集，若1∈M，且对于任意a，b∈M，都有ab∈M。设M是半环S的一个乘法闭子集，则s×M={(s，聊lJ∈S，m∈M}。在s×肘上规定如下二元关系“～”：(5，m)～◇，搠’)，当且仅当存在t∈M，使得smt=Jmt。现设s∈S，m∈M，由于s所·1=s聊·1，因此G，朋)～G，聊)。再设G，m)～G’，肌’

7、)，其中s，J。∈s，m，聊。∈M。于是存在f∈M，使得sm’t=s’聊f，HOs。mt""Sift。f，因此G’，研’)～G，聊)。再设G，m)～G。，m，)，且G，，m．)～G：，m：)，其中s，毛，s2∈S，m，ml，m2∈M。于是存在tl，t2∈M，使得smlfl=岛聊^，且Slm2f22s2mlf2。从而sm2(聊ltlf2)"-S2m(m1‘f2)，其中mlflr2∈M。因此，G，朋)～G：，m：)。于是，"是SxM的一个等价关系。对于G，聊)∈s×M，用旦表示s,m)关于～的等