数理统计方法

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1、数理统计方法第1章概率论的基础知识§1.1随机变量、频率与概率1.1.1随机变量在自然界和人类活动中，我们经常会遇到各种各样的变量。其中有一些变量，只要在相同的条件下进行同样的观测或实验，它的取值就是完全确定的。例如，在一个电路中，只要电压和电阻固定不变，电流就是一个确定的值；在真空中，一个从高处落下的自由落体，只要高度和重力加速度保持不变，落地所用的时间就是一个确定的值。但是，我们有时还会遇到另一种变量。例如，掷一个骰子，看掷出的点数，虽然是在同样的条件下掷同一个骰子，掷出的点数却是不一定的，可以是1、2、3、4、5或6；用一台车床加工零件，测量加工出来零件上的某个尺寸，

2、由于不可避免地存在加工误差，虽然是同一台车床在同样的条件下加工同一种零件，加工出来的尺寸却可能有大有小，并不是确定的。像这种在同样条件下进行同样的试验，其取值在试验之前无法预先确定的变量，称为随机变量。换句话说，随机变量就是随着试验结果的不同而随机地取各种不同值的变量。随机变量是概率论和数理统计的主要研究对象。在概率论和数理统计中，通常将随机变量记为（或）。1.1.2频率与概率既然随机变量的取值是随机的、偶然的、无法预知的，那么，是不是它就没有什么规律可以研究了呢？事实上，并不是这样。如果我们在相同的条件下进行多次重复试验，随着试验次数的不断增多，就会发现，在它的后面隐藏着

3、某种必然的、规律性的东西。下面看一个例子。例1同时扔2个硬币，设是出现正面向上的硬币的个数，的取值事先无法确定，可能是0、1或2，显然，它是一个随机变量。我们把这种扔硬币的试验重复进行次，设在这次试验中，出现0、1、2个正面向上的情形分别为、、次。称（）为频数，称（）为频率。下表中给出了在不同的试验次数下对频率的统计结果。100.20.70.11000.270.540.1910000.2630.4920.245100000.24720.50470.24811000000.249480.500240.2502810000000.2500010.5000120.249987从表

4、中数据不难看出，随着试验次数９的不断增多，频率越来越明显地稳定在一个常数值附近，的稳定值为，的稳定值为，的稳定值为。其实，对于任何其他的随机变量，我们发现，也总是有这样的现象，这种现象称为频率的稳定性。因此，我们有下列定义。定义1.1设随机变量的取值范围可以分成（可以是可列无穷大）种互不重复的情形，在次试验中，出现第种情形的次数（频数）为，频率为，。随着试验次数的无限增大，频率会越来越明显地稳定在一个常数值附近，这个常数值反映了随机变量取值为这种情形的可能性的大小，我们称它为概率。在概率统计中，通常用表示“的值等于的概率”，用表示“的值大于小于等于的概率”，……，等等。§1

5、.2概率的基本性质下面不加证明地列出概率的一些重要的基本性质。性质1对任何概率，必有。性质2设随机变量的取值范围可以分成（可以是可列无穷大）种互不重复的情形，的值属于第种情形的概率为，，则必有。性质3互逆（即正好相反）的两个事件的概率加起来等于1。例如，有，，……，等等。性质4设是两个相互独立（即它们的取值互不影响）的随机变量，则它们（在点或在区间上）同时取值的概率，等于它们各自取这些值的概率的乘积，例如有，，，……，等等。对于多个相互独立的随机变量，这个性质同样也是成立的。９§1.3离散型随机变量的概率分布1.3.1离散型随机变量的概率分布的定义有些随机变量，只能在离散点

6、上取值，例如，掷一个骰子掷出的点数，同时扔两个硬币出现正面向上的硬币个数，这种随机变量称为离散型随机变量。定义1.2设是离散型随机变量，将可能取的所有的值、以及它取这些值的概率一一列举出来，这样得到的一组概率，称为的概率分布（或分布列，分布律）。1.3.2常见的离散型随机变量的概率分布下面介绍几个常见的离散型随机变量的概率分布。（1）离散均匀分布如果可能取的值为，其中是一个正整数，的概率分布为，，则称服从参数为的离散均匀分布。例1掷一个骰子掷出的点数，它的概率分布为，，服从的就是的离散均匀分布。（2）二项分布如果可能取的值为，其中是一个正整数，是一个常数，的概率分布为，，则

7、称服从参数为的二项分布，记为～。例2同时扔个均匀的硬币，为这个硬币中出现正面向上的硬币个数，的分布就是参数为和的二项分布，即有～，的概率分布为，。在二项分布中，如果，即当～时，的概率分布简化为９，。这时，的值只能取0或1，，，我们将的分布称为0-1分布（或两点分布，或Bernoulli分布）。（3）几何分布如果可能取的值为，是一个常数，的概率分布为，，则称服从参数为的几何分布，记为～。例3向目标连续射击，直到击中目标为止，设每次射击的命中率为，是到击中目标为止所需要的射击次数，服从的就是参数为的几何分布，即有～，，