十字相乘法(多项式因式分解--教案)

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1、十字相乘法教案教学目标：1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。理解运用十字相乘法分解因式的关键。2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。教学设计思想：本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教

2、参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。教学过程：一、复习引入1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤例１：把多项式x2－3x+2分解因式。　x－１x－２解：x2－3x

3、+2＝(x－１)(x－２)像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？答：不是，（反例：x2+３x－2）。提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？请同学总结：（板书）x2＋px＋q当q＝ab，p＝a＋b时，　　　　　　x2＋px＋q=(x＋a)(x＋b)（*）再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。应该注意的是一次项

4、的系数和末项的系数都是包含了符号的。如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。　　如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。（根据情况，可选择数学符号语言表述）2．计算：（口答）⑴；⑵　(x＋1)2－２(x－1)(x＋1)＋(x－1)2；体会公式中的字母可以表示数，也可以表示代数式。　　二、引导问题设计，把可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式，渗透分类讨论、整体代换和化归思想方法。41.

5、复习中已经知道，公式里的字母不仅可以表示数，也可以表示式，我们把这个想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎样分解下面的因式：例１.⑴　y6－3y3+2；　⑵(a+b)2－3(a+b)+2；⑴中设“y3”为“x”,⑵中设“(a+b)”为“x”;这两道题可化归为例１进行分解。　　请同学体会，引入辅助元“x”，培养整体代换和化归思想方法。可以帮助我们利用十字相乘法，灵活进行较复杂多项式的分解因式）　　引导同学对问题中⑵(a+b)2－3(a+b)+2；进行变式设计（分解因式：⑴(a+b-3)(a+b)+2

6、；）理解：（*）式中“x”只能是单独的字母吗？答：单项式，多项式，整式(单项，多项式的统称)，代数式（如不是整式，虽不是因式分解，但仍可以进行代数式的恒等变形）[试一试，仿例题，将“x”可能的情况分类，然后设计题目，训练整体代换和化归思想方法的运用。*表扬有创意的设计，请同学解题，分析，进一步理解运用十字相乘法分解因式的注意点。]2.提问：（*）式中“末项”只能是常数吗？答：单项式，多项式，例2．把下列两式分解因式。⑴x2＋6xy＋8y2；⑵(a+1)2－3(a+1)b+2b2；分析：⑴把x2＋6xy＋

7、8y2看成是x的二次三项式，这里常数项是8y2，　　　一次项系数是6y，把8y2分解成2y与4y的积，2y＋4y＝6y，　　　正好等于一次项系数。　⑴解：　x2＋6xy＋8y2＝(x＋2y)(x＋4y)　⑵解：(a+1)2－3(a+1)b+2b2；=(a-b+1)(a-2b+1)例3：把(x2-3x＋2)(x2-3x-4)－72分解因式；解法1：设“(x2-3x＋2)”为“y”,解法2：设“(x2-3x-4)”为“y”,解法3：“(x2-3x)”为“y”。略变式：⑴(x-1)(x+1)(x－2)(x－4

8、)-72；⑵(x2-5x＋4)(x2-x-2)－72　3.课堂练习：练习题(题目分组，小组互批)(分析时，引导同学总结多项式分解因式的注意点，如有公因式先提公因式，一般二次项系数为负数时，化负为正；一定要分解到每个因式都不能再分解为止，等等）　　　　　4.请你设计一道形式如例1的因式分解题。进行变式设计，体会字母可以代替任意的数和式。(使学生掌握通过代换方法，把可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式分解因式。)4（同学合作，交流）。。