多元一次不定方程的完整讲义和练习

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1、二元一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解例1．解方程解：由原方程，易得因此，对的任意一个值，都有一个与之对应，此时与的值必定满足原方程，故这样的与是原方程的一组解，即原方程的解可表为其中为任意数整数解问题：例2．求方程的整数解解：因为，所以，不论与取何整数，总有但不能整除8，因此，不论与取何整数，

2、都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程有整数解的充分而且必要条件是与的最大公约数能整除例3．求方程的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。两边约去2后，得故，因此，要使取得整数，1=15，，即我们找到方程的一组解设原方程的所有解的表达式为：代入原方程，得（为整数）2与5互质，所以为整数）由此得到原方程的所有解为（为任意整数）定理2。若与的最大公约数为1（即与互质），为二元一次整系数不定方程的一组整数解（也称为特解），则的所有解（也称通解）为其中为任意整数但不定方程很难直接找到

3、一组整数解例4．求方程的整数解。解：由，所以当且仅当是3的倍数时，取得即是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为（为任意整数）例1．求方程的整数解解：由原方程得：要使方程有整数解，必须为整数，取得，故是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为（为任意整数）例6：若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？解：设有x只蟋蟀只，蜘蛛y只，则方程6x+8y=46，即3x+4y=23，，变形为，又为正整数，且能被3整除，或，把，代入得方程的正整数解为例7：用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每

4、枚邮票至少买1枚，共有多少种不同的买法？解：设买面值为20分的邮票x枚，面值为60分的邮票y枚，则买面值为1元的邮票为枚，根据题意得，即，由又，因此可取的正整数值为1，2；当时，,当时，，均符合正整数解问题例1．求方程的正整数解。解：我们知道的所有整数解为为任意整数）故要求原方程的正整数解，只要使即可，所以，注意到为整数，所以得所有正整数解例2．求方程的正整数解。解：原方程可化为，即其中为原方程的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为（为任意整数）令得：（为整数）原方程可得无穷多组正整数解（）例1．求方程的正整数解。解：如果方程有正

5、整数解，则因此，这个方程无正整数解。说明：一般地，若方程中，，则这个方程无正整数解。例2．如果三个既约真分数的分子都加上，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。解：由题意得，整理得问题转化为求的正整数解。，不定方程有一组整数解它的所有整数解为为任意整数）令，得不等式组整数。因此方程有两组正整数解，与为既约真分数，所以是它的唯一解，因此所求的积为例3．今有36块砖，36人搬，男搬4块，女搬3块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有多少人？解：设男、女、小孩分别为人，又题意列方程组：；消去得；观察得是方程的一个解；所以方程的

6、通解为（为整数）。又依题意得；，又为整数，故只有则答：有男3人，女3人，小孩30人。例4．一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车32人）。起初每车乘22人，这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来有多少辆汽车？这批游人有多少？解：设原有汽车辆，总人数为，由已知条件：是人数，应为正整数，，或23，或共有汽车24辆，游人共529人。例5．求方程的正整数解解：，应是正整数，故有以下四种可能：其中第二组和第四组都不是正整数解（舍）例8：某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第

7、二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位？解：设剧场共有x排座位，第一排有个座位，则第排有座位个，根据题意得，均为正整数，所以为奇数，且是1000的正约数。的正奇约数只有5，25，125，不合题意，又当时，舍）当时，，符合题意，答：剧场共有25排座位。例：一个正整数与13的和为5的倍数，与13的差是6的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？解：由题意得（是正整数），可得，要使最小，则取最小值，当时，，此时例：若都是正整数，且求的值。解：由已知可得，观察可得，于是不定方程的解为为整数），是正整数，，得，知例：设和大于0的整

8、数，且①若和最大公约数为15，则；②若和的最小公倍数为45，则解：的最大公约数为15，可令为正整数），由已知得的解为，而且为正整数，有，知；当时（舍去），当时，，此时和的最小公倍数为45，可令为正整数），由已知得，由得，于是有，则只有