关于原子加倍测度的两个例子

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1、湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重声明·所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体。均已在文中以明确方式标明．本声明的法律后果由本人承担．论文作者签名·娄曼丽签名日期，刎年‘月5日学位论文使用授权说明本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，PP,按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本

2、和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印，缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下．学校可以公布论文的部分或全部内容．(保密论文在解密后遵守此规定)论文作者签名：萎曼丽签名日期一加7年6月5日导师签名；垂胆缸签名日期；“。7年f月7日第一章引言测度是分形几何研究的核心部分，它是分形这一数学分支中最主要的工具及研究对象之一．此外，测度以自身特有的方式反映分形的特征．测度是把集合数值化的—种方法，它使。部分和”的原理得到了应用．这样，如果用一种合理的方法将一个集合分成有限或可数

3、个部分，那么整个集合的测度就是这些部分的测度之和，测度还被通俗的认为是一种。质量分布”或。负荷分布”．自从1895年Bo陀119】将测度作为度量集合大小的—个工具以来，人们就尝试着在不同的集合与空间上构造各式各样的测度，尤其在度量空间上，人们利用度量性质定义了许多测度．以Caratheodory[8]构造为基础建立的Hausdoulf测度与维数【6l可以定义在任何集上，特别对不规则的分形集的研究I-Iausdorif测度具有重要的作用．此外，在利用测度度量几何对象时需要用维数作为测量的。尺度。．在研究经

4、典几何对象时人们总是采用整数维．但是，在分形集上，llau8do捌10】将传统的维数概念通过覆盖的方式推广到一般的非负实数．现阶段关于分形的研究中，llausdorlf维数具有如下意义一测量几何对象适当的尺度和充斥空间的能力．因而Hausdorff维数具有极为重要的作用，并且目前对于维数的研究结果也是比较丰富和深入的．加倍测度的出现与定义在复平面上单位圆盘映射到自身的拟共形映射有关．每个这样的映射，决定了其单位圆周上的一个同胚，问题是·哪些映射能作为这种拟共形映射的边界映射?在【13】中，Beurlin

5、g和Ahlfors给出了一个著名定理．该定理给出了一个充分必要条件·只要J，‘，是相邻等长的弧，那么l，(驯与l，(t，)I的Lebesgue-测度可比较，即l，(驯xI／(S)1．p表示单位圆上的测度，满足p(D=II(I)I，该等式还可以表示成，／u(2I)≤c-(n其中2J是单位圆上的弧，包含，，且2，的长度为J的2倍．在Beurling和Ahlfor的定理中，测度p对某个发散型的椭圆算子来说就是调和测度．这就是加倍测度与调和测度紧密相关的原因所在．与奇异积分和极大函数有关的一些估计式，就Lebe

6、sgue-测度的情形来说是调和分析中的经典结果．这些结果可以推广到加倍测度的情形．1湖北大学硕士学位论文因此，近几年来加倍测度成为许多学者讨论和研究的新方向．我们知道，若度量空间(x，d)上存在非平凡的加倍测度。则(x，d)是加倍的．但是，反过来，若度量空间(x，d)是加倍的，在(X，d)上不一定存在非平凡的加倍测度．例如有理数集Q是R的子空间。显然是加倍的．但是我们很容易验证Q上不存在非平凡的加倍测度，从而说明了加倍空间上不一定都存非平凡的加倍测度．那么，在什么样的条件下，度量空间(x，回上存在非平凡

7、的加倍测度呢?一些学者首先对紧的度量空间进行了相关研究，如1988年，Volberg和Konyagin[5]证明了紧的加倍度量空间上存在加倍测度．1998年Luukkainen和Saksman[3]证明了每个完备的加倍度量空间上存在非平凡的加倍测度．特别地，舯的每个闭子集上存在非平凡的加倍测度．1998年WuJiangmei[6]构造了紧的加倍度量空间上的非平凡的加倍测度．并且Saksman关于加倍测度的不存在性也给出了一些有趣的结论[41．在文【6】中，Wu证明了对任何一个紧的加倍度量空间(x，d)及

8、任何一个正数D，存在x上一个加倍测度p及x的一个子集E，使得p(E)=，‘(X)和日o(E)=0．其中日n表示。一维豪斯道夫测度【1】．—个自然的问题是·任给一个紧的加倍度量空间x，是否存在x上一个加倍测度p及x的一个子集E，使得u(E)=p伍)且dim／／E=o?一般来讲，这个问题的回答是否定的．例如，区间【0’1】上的任何加倍测度都不可能支撑在一个Hsusdorlf维数等于零的子集上．但另一方面也的确有一些紧的加倍度量空间x，其上存在加