有界平面区域上的加倍测度的存在性

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2、其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下。学校可以公布论文的部分或全部内容．(保密论文在解密后遵守此规定)论文作者签名。j免么晶签名日期·伽俨f月7日导师签名。乒∥Z在签名日期．阳吵年b月，日，第一章引言测度是分形几何研究的核心部分，它是分形这一数学分支中最主要的工具及研究对象之一．测度是将集合数值化的一种简单而又直观的方法．自从1895年Borel[1】将测度作为描述集合大小的一个工具介绍给人们。人们就尝试着在不同的集合与空间上构造各式各样的测度，尤其在度量空间上，人们利用度量性质定义了许多测度．以Caratheodory[21构造为基础建立的Hausdorff

3、测度f3】对任何集都有定义，特别对不规则的分形集的研究具有重要的作用．测度常常被看作是某种。质量分布。，人们希望在度量空问上找到一些比较均匀的测度．而加倍测度就是度量空间上一个比较理想的测度．因此，近年来加倍测度成为许多学者讨论和研究的新方向，在这个领域，也已经获得了一些很好的结论．1989年，P．Tukia[4J证明了对于欧氏空间中的闭球B，B上任一加倍测度不可能在B中某个Hattsdorlf维数为0的集合上满测．随后，Kaufinan和WuJangmeiN于1995年指出，舯的一个球上的加倍测度不可能在—个Hausdorif维数为0的集上具有满测度．然而，存在一个

4、正长度的紧子集ECR1，使得E、上有纯原子的加倍测度．此外，存在紧集ECR1，使得E上任何加倍测度都是纯原子的．wuJangmei[6]于1998年又指出，对紧的加倍度量空间，v口>0，存在非平凡的加倍测度“使得p在—个Hausdortf维数至多为n的集上具有满测度．加倍测度的定义对于任何一个度量空间都是有意义的．我们很自然地要同·哪些度量空间上存在非平凡的加倍测度呢?关于加倍测度的存在性，Volberg和Konyagin{71于1988年指出，每个加倍的紧度量空间(x，d)上存在非平凡的加倍测度．随后，Luukkainen和saksn扭Ⅱ18】又证明了每个完备的加倍

5、度量空间上存在非平凡的加倍测度．特别地，Ⅳ的每个闭子集上存在非平凡的加倍测度．Luukkainen和Saksman在[8】中还提出这样一个问题：如果x是一个不完备的局部紧的加倍度量空间，那么x上是否存在非平凡的加倍测度呢?之后，Saksman在【9】中指出对这个问题的回答是否定的．作为反例，他证明了1湖北大学硕士学位论文存在有界若当开域QcR“(n22)，关于欧氏度量，其上不存在非平凡的加倍测度，并且进一步证明了—个更一般的结论·对每个没有孤立点的非空度量空间x，都存在一个稠密开子集Qcx，使得Q上不存在非平凡的加倍测度．在本文中，我们将加倍测度与分形几何紧密地结合起

6、来．分形几何的概念是由B．Mandeibrot[10】[111于1975年首先提出的．他的开创性著作112】【13】《大自然的分形几何学》以散文的笔法描述了一种新的几何学．自上世纪八十年代后期以来，它已经迅速发展成为一门新兴的数学分支．分形几何以“极不规则4的几何图形为研究对象，而大量不同类型的极不规则的几何对象常常出现在自然科学的不同领域，因此，这一学科有着极强的应用价值．尤其在近些年，分形几何与计算机紧密结合，在数学，物理，化学，生物，工程，经济等领域都获得了巨大成功．Cantor集【14】是一种人们最了解，同时也是最容易构造的分形，然而它却显示出许多最典型的分形

7、特征．它是从单位区间出发．通过一系列不断地去掉部分子区间的过程构造出来的．去掉中间三分之一的Cantor集就是我们熟知的三分Cantor集．Buckley,Han∞n和MacManus在【15】中按测度将Cantor集分为了两类·TC和FC(thinandfatCantorSets)，并且进一步将Fc分为了MFC，FFC和VFC(minimallyfat，fairlyfatandveryfat)三类．在此基础之上，他们还对直线上的拟对称厚Cantor集的判定给出了一个简单明了的的刻划．Saksman在【9】中构造了—个有界若当开域ncr(n≥2)，其