一类关于随机变量部分和的强偏差定理与两类树上的极限定理

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1、符号说明——一事件A的示性函数——概率测度——一状态空间——数学期望——～条件数学期望——树——图B中顶点的个数一一分布函数——样本点——a一代数一一概率空间——_Q相对于P的样本散度一——几乎处处——相对熵密度弘鳓V功，㈣心耶E聊T例F。邢Ⅳ删n肌河北工业大学硬士学位论文第一章绪论在概率论的发展史上，极限定理的研究一直占重要地位．刘文教授⋯及其合作者利用其首创的分析方法，在极限定理的研究方面做了大量的工作．分析方法的要点是用区间剖分法在概率空间(10，1)，，，P)(其中，为[0，1)中的Lebesgue可测集的全体，P为Lebesgue测度)中给出随机变量

2、序列的一种实现，然后，再构造依赖于一个参数的单调函数，并应用Lebesgue关于单调函数可微性的定理证明某些极限a．s，存在，然后通过纯分析的运算来证明所需要的结论．通过这种方法，刘文教授与其合作者【“6J在强偏差定理，Shannon-McMillan定理，赌博系统，任意相依随机变量序列的强极限定理，马尔可夫链及其树上马尔可夫链场的强极限定理等领域做了大量的工作．本文的第二章通过g{进似然比作为相依随机变量序列相对于服从不同分布的独立随机变量序列的偏差的一种度量，并通过构造一个非负上鞅，利用鞅收敛定理给出了样本空间的一个子集上的一类用不等式表示的强偏差定理．近

3、年，由于信息论发展的需要，人们开始研究随机场的ShannonMcMillan定理，刘文教授，杨卫国教授【“Ⅷ得到了Bethe树和Cayley树上马氏链场具有a．S，收敛的Shanrton—McMillan定理．关于整数集上信源的ShannonMcMillan定理已有广泛和深入的研究．本文用分析的方法研究一类树上的二重马氏链场的渐进均分割性．为了研究树上的马氏场的极限理论，先构造了一个乘积空间上的网，然后利用网微分法证明了一些二重马氏链场上的大数定律．给出了一类扇形树上极限定理的分析方法的证明．并将Shannon—McMillan定理推广到二重马氏链场上．第四章

4、我们进一步研究了齐次树上随机场的马尔可夫逼近．在证明过程中，通过引进样本相对嫡率h(PIQ)作为齐次树上任意随机场与马尔可夫链场之间的偏差的一种度量(参见[101)，在概率空间(Q，，，P)上建立了关于齐次马氏场的一类强偏差定理(也称为小偏差定理)．证明中应用了研究马尔可夫链场强极限定理的新的分析方法．并且融合了研究a．S．收敛的分析技巧及鞅收敛定理．一类关于随机变量部分和的强偏差定理及两类树上的极限定理第二章一类关于随机变量部分和的强偏差定理§2—1定义和符号表示及引理令(n，，，P)是一个概率空间，(矗，n≥o)是由(Xl，尥，，一，矗)生成的一列递增的d

5、代数，其中，毛={0，n)，K为一个有限正数，{xn，n≥1)是满足IX．1SK，n≥1的随机变量序列，其联合分布为下的v(x1=z1，．．，，xk=z。)=g(z1，·一，∞n)>0，1∞tlSK，l曼iS韩·(2·1-1)为了表征{x。，n三1)与服从不同分布的独立随机变量序列之间的差异，我们引进如定义2．1．1设{jh，n≥1)具有分布(2．1．1)的随机变量序列是独立不同分布的随机变量的乘积分布，并令IIQt(x一)rn(w)2雨k=il而(2．1．2)(2．1-3)为{‰，"≥1)相对于乘积独立不同分布的似然比，此处u为样本点·简记xk∽)为xkr。

6、∞)为r。．我们首先证明下列引理引理2．1．1如果0≤z≤1且一。o0且。≥0或者一oo0时，，’D)≥0，当A≤0时，，7(A)S0．因／(o)=0，所以我们得到，(A)≥0，(2．1，4)得证．为证明(2．1_5)式，我们只

7、需考虑^≠0的情况．因为对于任意的a>一l，总有上l+a一曼In(1十a)≤a，则有。曲(1+(e"x--i)。)姊-叫z，入≥等，VX>O,x≥。ln(1+(e1—1)z)≤(e1—1)∞S0由此可知。>a≥字，V一<呸z曼击坚堕!±』掣≤蜉：e^。，vA>o，。≥o，^一!三土’一。坐掣≥譬“z，VA

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