一类适应随机变量序列的强极限定理

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1、第26卷第1期大学数学VoI．26，№．12010年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb．2O10一类适应随机变量序列的强极限定理吴艳蕾，吴小太(安徽工程科技学院数学系，芜湖2410o0)[摘要]研究了一类适应随机变量序列的局部收敛性，推广了文献[1]中的结论．并在假定部分和序列为极限鞅时，得到了极限鞅的强极限定理．最后给出了*mixing序列的强大数定律．[关键词]强极限定理；极限鞅；*mixing序列[中图分类号]0211．6[Jt献标识码]A[文章编号]l672—1454(2010)010125—041引言设{XF，”≥

2、O}为概率空间(n，F，P)上适应的随机变量序列，即{F}(FCF)为增代数序列且X，是F可测的．钟开莱在十，的条件下给出了独立随机变量序列的强大数定律，文献[3]将钟的条件减弱得到了独立随机变量序列的强大数定律．文献[4]在文献[3]的条件下给出了适应的随机变量序列的强大数定律推广TEs]的结果．文献[1]在十的条件下证明了适应的随机变量序列的强极限定律．本文在比文献E1]更一般的情况下研究了适应随机变量序列的局部收敛性，并得到了极限鞅的强极限定理，最后证明了*mixing序列的强大数定律．引理1E设{XF”≥0}为任意随机变量序列，

3、{a}为递增的正实数列，则对r≥2，有E~EIXirJF]≤+a1Ell，a．。．LaIJ引理2rs若{x，F≥o)为鞅差序列，在集合{∑E[Y1F]<。。}2E,fi-∑y收敛．2主要结论定理1设{X，F，≥0)为适应的随机变量序列，{a}为F可测的正随机变量序列，是+一蠢+的Borel可测函数列，a≥2，是≥1均为常数列且满足≤是一≤设耋-1~oo，n=1(2)则在A上[收稿日期]2007—08—24；[修改日期]2007—1lO5[基金项目]国家自然科学基金资助课题(1O571076)；安徽工程科技学院青年基金(2oo7YQO25

4、)126大学数学第26卷{Xo-E[x]’<∞'a．e．(3)且lim~{Xk-ElXke．(4)证令y一(一EEXlF一])，有EEY2~lF]≤E[x：IF．-i]≤1_2[1XF]·(5)“t．n由引理1，有薹Ix．io．IP．i≤耋=an+薹寿E[IX．1~~IF．-~·e．(6)由(1)，有∑亡E[F]。。一薹一Ix~l，I]~~一ZEC(IXoI／X(≤]+薹E[(。Ix~lI，x1]。，≤薹+蓦anE[]．(7)薹E[y：一≤2薹麦+薹E[簧}一]

5、得(4)．推论1Ⅲ设{x，F，n≥0}是一适应的随机变量序列，{口，≥0)是F一可测非降的正随机变量序列，设{(z)，≥0)是一列定义在R上的非负偶函数列，对≥2有，g(o，+。。)上单调不减．设Af山：耋一1。1”

6、三其中F一：d(j2『，／2)，V≥1．证由(11)有塾，F1a"、／口n，<⋯．e．第1期吴艳蕾，等：一类适应随机变量序列的强极限定理127当(11)式成立时，在定理1中有P(A)一1．故由定理1与(11)，有(12)有m一1时成立．由由{X+，F+，，z≥0}为一随机适应序列与(11)，有∑一-，一EEX—flF(n1)m~t]}<。。，a．e．(13)一1“mnTt由(13)，有一EIx⋯]}一6／{X～+一E[X+jF+]}<。。，a．e．l”ltn=m故由Kronecker引理即得(12)．定义1设{x，F，n≥1}为适应的随

7、机变量序列，s一∑X，n≥1．若有k一1limsuplEESIF]一S『一0，a．e．。。，>”则称序列{SF，≥1}为极限鞅．易知当序一列{S，F，≥1)为极∑限鞅时，有limEEX+lF]一0．定理2设{s，F，”≥1}为极限鞅，n，如定理1定义．若∑<。。，．．，且a”一l塾(14)则limis===0，a．e．(15)，—。。a7证由{SF≥1}为极限鞅，有lim∑E[X㈩IF^]一0．(16)一““由(14)与定理1，有1”lim{X一E[XIF])=0，a．e．(17)。。“由(16)与(17)，即得(15)．定义2E设{X

8、”≥0)为一随机变量序列，F一(X，X+，⋯，X一)．()为定义在整数”≥N(N为正整数)上的函数，满足lim~(n)=0．若对Vm≥1，n≥N，A∈F与B∈F～，有{P(AB)一P(A)P(B)i≤(n)