直和空间上对称微分算子自共轭域的辛几何刻划

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1、第一章引言数学物理方程及科学技术的应用有许多问题可归结为确定的微分算子问题．微分算子理论是解决物理方程及大量科学技术问题的重要数学工具．微分算子理论包括常微分算子理论和偏微分算子理论，常微分算子理论主要研究线性微分方程赋予线性边条件所产生的常微分算子的亏指数，自共轭扩张和谱分析．自共轭扩张问题最早可追溯到经典的Sturm—Lionuville问题，即在闭区间[a，b】上的一个二阶微分算式，当赋予一个端点分离边条件时，就确定了一个自共轭算子，但是由文[161知分离边条件并不是二阶微分算子自共轭域的完全描述．1954年，E．A．Coddington在

2、文[17】中把经典的二阶问题推广到了高阶，并且用边条件矩阵给出了闭区间上n阶对称微分算子自共轭域的完全描述．同一时期，^tANaimark在文【14】中给出了由“拟导数”所定义的常型对称微分算子自共轭域的完全描述．可以证明，当微分算子具有光滑系数时，Coddington条件，Naimark条件，Everitt条件是等价的．1910年，H．Weyl在文【19】中将经典的S-L问题推广到无穷区间上，根据H．Weyl和E．C．Titchmarsh关于二阶奇型微分算子的经典理论，【口，6】上的微分算子：7-(暑，)=一(p(￡)!，7)7+口(z)暑，的

3、自共轭域可以由7．(Ⅳ)=Xy的Weyl解皿(z，A)来描述，即边条件：JⅣ(o)C08CE+p(a)sina=0l甑皿(为A)】(oo)=0确定了r(掣)的自共轭域，称为Weyl—Titchrnarsh域，当r(!，)是极限圆时，Weyl—Titchmarsh域不是7．(可)的自共轭域的完全描述．详见文【17】与文[19】．1985年，曹之江教授在文【3】中通过对二阶奇型对称微分算子的定义域构造性的分析，利用微分方程的解给出了r(y)的自共轭域的一种直接而完全的描述，即边条件：J-aly(a)+61暑，(口)+al[y，纠(o。)一岛函，纠=0

4、l-a2y(a)+b2ff(a)+a2[y，纠(oo)一危阻，妒】=0确定了r(可)的自共轭域，称为Cao域，其中{毗，bi，伪，屈)0=1．2)满足一定条件．可以证明，Coo域是二阶奇型对称微分算子自共轭域的完全描述，而Weyl—Titchmarsh域是Cao域的一种特殊形式．W．N．Everitt在文[22】至[25】中和V．K．Kumar在文【26]，[271中将Weyl—Titchmarsh域推广到高阶奇型对称微分算子，给出了极限点和极限圆型对称微分算子自共轭域的描述，称为Everitt域．第一章引言1985年，曹之江教授在文【11】中将

5、二阶Cao域推广到高阶，给出了极限圆型高阶奇型对称微分算子自共轭域的完全而直接描述．可以证明，Everi甜域是特殊的Coo域．1986年，孙炯教授在文【7]中通过对微分算子定义域的全新刻划，给出了【口，o。)上具有中间亏指数的对称微分算子自共轭域的完全描述，即边条件：y(o)矿(o)暑，_一1)(o)一N[1，，z-】(oo)阻，z。】(oo)由，z拥。】(o。)=0确定了r(!，)的自共轭域，称为Sun域，其中M、Ⅳ满足类似于Ooddington的条件．可以证明，Sun域具有更广泛的概括性．之后尚在久和朱瑞英利用曹之江教授和孙炯教授的方法，在文

6、【181中把两人的结果推广到(一oo，+o。)上．辛几何是20世纪70年代发展起来的重要的数学分支，近年来辛几何受到了众多领域数学工作者的广泛关注．1999年W．A．五0eritt在文【4】中，将辛几何这一概念引入到微分算子的研究领域．通过在空间中引入辛形式，构造辛空间S=D(丑)／D(To)，证明了蜀的对称扩张与S的Lagrangian子流行之间的一一对应关系，蜀的自共轭扩张与S的完全Lagrangian子流行之间的一一对应关系．2002年，王万义在文【131中首次运用辛几何的方法，利用最大算子域与最小算子域构造辛空间，借助辛空间中的完全Lag

7、raugian子流形与对称微分算子自共轭扩张的一一对等关系，研究了二阶常型，高阶常型、二阶奇型、高阶奇型及中间亏指数的对称微分算子自共轭域的辛结构，从辛几何的角度研究了，这几种情况下微分算子所产生的代数结构，并对它们的自共域进行分类研究，从自共轭域分类的角度来看Everi扰域的不完全性和Coo域，Sun域的完全性．2005年，郭芳在文【15】中将以上结果推广到(一oo，+oo)上，研究了两端有奇异点的对称微分算子自共轭域的辛结构，将函数在一oo，+oo的契合函数值当作坐标，找到了一个反Hermitian矩阵，给出辛形式的坐标表示．然后根据微分算子

8、在一o。，+∞上的亏指数取不同值，将辛空间当中的完全Lagrangian子流形进行分类，利用辛几何研究了微分算子所产生的代数结构．三年来