3.1共轭空间与共轭算子.pdf

《3.1共轭空间与共轭算子.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第三章共轭空间与共轭算子线性赋范空间与它的共轭空间之间的相互依存和相互作用是泛函分析中内容丰富的论题.共轭空间不仅仅是由原空间派生出来的一种新空间，而且提供了认识原空间的新工具.特别是由此派生了强拓扑、弱拓扑乃至弱*拓扑的概念.有界算子与它的共轭算子的关系也是如此.本章将首先把共轭空间具体化——给出共轭空间的表现，然∗后讨论由共轭空间引出的序列的弱收敛和弱收敛概念及其性质，讨论共轭算子和紧算子的性质，最后阐述自反空间和一致凸空间的特殊性质.第15讲共轭空间及其表现教学目的掌握常用空间的共轭空间的具体表现形式及其应用。授课要点pq111空间()*,1llp=≤<∞+

2、=,1.pqpq112空间()LLp*,1=≤<∞+,=1.pq3空间Cab[,]*=Vab[,].0∗前面已讲过，对于任一线性赋范空间X，X的共轭空间X是∗Banach空间.对于每个f∈X，我们有f=supfx(),（1）xxX≤∈1,对于每个xX∈，又有1x=supfx().（2）∗ff≤∈1,X这些公式反映了线性赋范空间与它的共轭空间之间的对偶关系.当∗∗∗∗∗然，作为线性赋范空间，X也存在共轭空间，记为X，称X为X∗∗∗的二次共轭空间，类似地还有X等等.在对共轭空间及其有关性质作进一步研究之前，我们需要对它的抽象形式做一番直观化的工作.我们记得，在第一章中

3、曾经叙述过两个线性赋范空间的等距同构概念，等距同构的两个空间除了符号不同之外，在结构上无法区别.在这种意义上我们也称两个空间相等.在研究抽象空间的时候，有时我们不去研究这个空间本身，而是去研究一个与之等距同构的具体空间，后者称为前者的表现，同时也称具体空间的每个元素是抽象空间对应元素的表现.n例如,在第二章第1讲中我们已经知道Φ上的线性泛函的一般形式是nf()xa=++11x?annx，∀xxx=∈(1,,?n)Φ（3）其中aa,,?是n个标量.不同的f对应有不同的n数组(aa,,?).1n1n1n22nn直接计算可以求出fa=∑i.若将Φ上的线性泛函f与

4、Φi=1∗nn中的点()aa,,?对应起来，则(Φ)与Φ之间可以建立一一对应，1n∗n并且这种对应是到上的等距同构.这样一来，(Φ)中的元素可以通∗nn过一个n数组表现.换句话说，Φ本身就是(Φ)的表现.在这种意∗nn义下我们说()Φ=Φ.现在让我们看一些进一步的例子.2∗1∞定理1(ll)=.∞证明1°对于每个aaa=∈(),,?l，定义12∞1f()xa=∑nnx，∀x=∈(xln).()4n=11f是l上的线性泛函，并且∞∞f()xa≤≤∑nnxaxsupn∑n=supaxn.nn==11n≥1n≥1从而f≤=supaa.n∞n∗12°反之，若f∈(

5、)l，取e=0,??,0,1,0,，n≥1，易知n%(&('n1el∈．令afe=()，首先af≤=ef．若令a=(aa,,?)，nnnnn12n∞1()n则al∈并且aa∞=≤supnf.任取x=(xli)∈，设x=∑xeii，ni=1则∞()nxx−=∑xi→0.()n→∞in=+1由f的连续性n∞()nf()xf==lim()xlim∑∑xiif()ea=nxn,nn→∞→∞in==111这说明式()4是l上线性泛函的一般形式.∗1∞a3°令Tl:()→l，Tf=α．由1°，T是到上的线性映射.1与∗∗a112一起说明Tf==af，∀∈f(l).

6、从而T是一一映射，()l与∞∞3∗∞1∞l等距同构，即(ll)=.∗pq−−11类似地可以证明()llppq=(1,＜＜∞+=1)，此外用类似的∗1∗1方法还可以证明cl=,cl=.0根据Hahn－Banach定理(见本节开头提到的式子)，我们有∞pxp=sup∑axnn，∀x=∈(xln)（5）a≤1n=1qq这里aal=∈().npq*−−11定理2LabLab[,,]=∞[](1＜＜p,1pq+=).q证明1°对于每个atLab()∈[,]，定义bpf()xx=∫()()tatdt，∀∈atLab()[,].()6apf是Lab[,]上的线性泛函，由Hold

7、er不等式，bf()xx=≤∫a()()tatdtxpqa,故f≤a.qp∗2°若∀∈fLab[,]，令χ=χ为[at,]的特征函数，并且记t[]at,f(χt)=gx().对于[]ab,中的任一组区间[abii,],aab≤≤＜＜?≤≤abb，11nn−1记ε=−()gb()()gagb()()−ga（当gb()−ga()=0时iiiiiiiε=0），则i4nn∑∑gb()()iiiba−=gaεχ()f()()−fχiiii==11n≤−f∑εχχiba()iii=1p1np=−fb∑()iia.i=1nn所以当∑()baii−很小时，∑gb()(

8、)ii−g