高中数学初高中衔接读本专题2.2根与系数的关系韦达定理）高效演练学案

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1、第2讲根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【高效演练】1.若是一元二次方程的两个

2、根，则的值是(　　)A．2B．－2C．4D．－3【解析】：方程的两根为，，根据题意得．故选D．【答案】D．2．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）A.5B.7C.9D.10【解析】∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选D．【答案】D73．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则(　　)A.p＞0且q＞0B.p＞0且q＜0C.p＜0且q＞0D.p＜0且q＜0【解析】试题解析：设x1，x2是

3、该方程的两个负数根，则有x1+x2＜0，x1x2＞0，∵x1+x2=-p，x1x2=q∴-p＜0，q＞0∴p＞0，q＞0．故选A．【答案】A4.方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　)A.－2或3B.3C.－2D.－3或25.规定：如果关于x的一元二次方程（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程是倍根方程；②若关于x的方程是倍根方程，则a=±3；③若关于x的方程（a≠0）是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是（2

4、，0）和（4，0）；④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程．上述结论中正确的有（　　）A．①②　　　　　　B．③④　　　　　　C．②③　　　　　　D．②④【解析】7③关于x的方程（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线的对称轴是直线x=3，∴抛物线与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，∴mn=4，解得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴关于x的方程不是倍根方程；故选C．【答案】C．6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则=__________.

5、【解析】∵关于的方程：的两个实数根分别为，∴，∴.【答案】-37.若方程的两实根为a、b，则的值为_______。【解析】∵方程x2–x–1=0的两实根为a、b，∴a+b=1，ab=–1，∴．【答案】-18．设是方程的两个实数根，则的值为_______。【解析】由是方程的两个实数根，则且，又【答案】201779.关于x的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是．10.一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，的取值范围为_______。【解析】解一：由解得：解二：设，则如图所示，只须，解得【答案】11．若关于x的一元二

6、次方程x2–4x+k–3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．【解析】由根与系数的关系，得x1+x2=4①，x1x2=k–3②又∵x1=3x2③，联立①、③，解方程组得，∴k=x1x2+3=3×1+3=67则方程两根为x1=3，x2=1；k=6．【答案】x1=3，x2=1；k=6．12.已知关于的方程（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足,求实数k的值.【解析】分析：（1）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k2

7、-4k-1）≥0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2（k-3），x1•x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1•x2=k2-4k-1可计算出m的值．解析：（1）∵x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有实数根，∴△=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0，解得：k≤5；13.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根满足．【解析】(1)

8、∵方程两实根的积为5∴所以，当时，方程两实根的积为5．7(2)由得知：①当时，，所以方程有两相等实数根，故；②当时，，由于，故不合题意，舍去．综上可得，时，方程的两实根满足．【答案】（1）；（2）.14.已