整数同余的性质与证明研

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1、整数同余的性质与证明研究（纯色禁忌，书）摘要：整数同余在研究数论的过程中占有很重要的地位，本文简单阐述了整数同余的概念，并对整数同余的性质进行了简单说明与证明研究。通过整数同余的性质与证明的研究，本文给出了整数同余的定义、性质及其证明。整数同余的性质包括反身性、对称性、传递性，从这三个性质还可延伸出一些其他的性质，从这些性质中，我们可以来对整数同余有功多的了解，从而在解决实际问题时可使问题简化。关键词：整数同余，性质证明，剩余类1、引言同余是数论中的基本概念，日常生活中就常常遇到，例如，1984年元旦是星期日，由于1984年共有

2、366天，而366=725+2，所以，1985年元旦应是星期二，这里我们只关心余数。用一个固定的正整数去除所有的整数，把余数相同的归在一类，余数不相同的不在同一类，进而讨论分类整数的性质。本文以m为模，其中m为正整数。2、整数同余的概念定义：给定一个正整数m，把它叫做模。如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作a。如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作ab。上述定义也可以叙述为：若，则叫a同余b模m，记为ab。自然，若ｍ不整除a-b，则a不恒等于b，例如15143-7521313、整数

3、同余的性质及其证明性质1（反身性）a，证明：a显然成立。性质2（对称性）若a，则b。证明：由条件a，设，，显然，a，b成立。证完。性质3（传递性）若a。证明：由，因此a证完定理1整数a，b对模m同余的充要条件是m整除a-b，即，是整数。证明：设，0≦﹤m，0≦﹤m，若，则，，因此。反之若，因此.证完。由定理1及整除的性质可以很容易得到下列与相等类似的性质：性质4（ⅰ）（ⅱ）若a+bc，则ac-b。证明：由定理1，a1=b1+mt1，a2=b2+mt2，因此a1+a2=b1+b2+m（t1+t2），即得（ⅰ）由（ⅰ），c-bc+（

4、-b）+（-b）a，证完。性质5若特别的若ab，则证明：由定理1，，，故，证完。性质4与性质5也可叙述为：如果a:(1)；(2).通常复数的等式有消去律，即若a，b，c为复数，c0，则可得出a＝b。下面引理表明，对于同余式也有类似性质，但是条件c要改成。引理1证明：由引理条件可知，于是则由于即。证完引理2（1）若。（2）若。（3）.证明：（1）是显然的。（2）：由条件知，存在整数x使得于是.（3）由（1）知“”是成立的。另一方面，如果,则即a-b是a-b是的倍数，即。证完谈到整数同余，我想在这提一下剩余类设m是一个固定的正整数，

5、利用带余除法，每个整数均模m同余于0,1，…，m-1当中的一个。由于0,1，…m-1彼此模m不同余，所以每个整数也只能同余于他们当中的一个。对于整数i，考虑m同余于i的整数所构成的集合，那么上面是说：是彼此不想交的m个集合，并且他们的并集就是Z。我们把每个集合叫做模m的一个剩余类，于是，模m共有m个剩余类。同一个剩余类中任意两个整数是模m同余的，不同的剩余类中两个整数是模m不同余的。关于剩余类我们暂且讨论到这一点。下面我们给出定理2，由定理2，我们还可以引出其他的性质。定理2若,则：则。性质6若，即：。证明：由定理1，，故，。证

6、完性质7（1）若。（2）若.证明：（1）由，则存在一个整数t，使（*），在（*）是两边同时乘上k（k﹥0）得：，故。（2）由（1）可证（2）成立。证完性质8若。证明：由定理1，的最小公倍数整除a-b，故有：证完性质9若则。证明：由可得，m整除a-b，又d整除m，则，d整除a-b，故证完性质10若,因而若d能整除m，及a，b二数之一，则d必能整除a，b中的另一个。证明：由定理1，，（其中，t是整数），故，则a，m与m，b有相同的公因数，因而.证完。关于整数同余的性质及其证明，到此我们讨论研究完毕。参考文献李复中。初等数论选讲，第二

7、章第一节.东北，东北师范大学出版社。1991年6月，76—77。冯克勤，余红兵。初等数论，第二章第一节，合肥，中国科学技术大学出版社，1995年10月，16—17。闵嗣鹤，严士健。初等数论，第三版，第三章，第一节。北京，高等教育出版社，2003年12月，48—50。数学与应用数学专业2009级《初等数论》课程整数同余的性质与证明研究小组成员：xxx，xxx2011年6月