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1、同余的性质及应用1引言数论的一些基础容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一.我国古代子算经里已经提出了同余式,,…,这种形式的问题
2、，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数学九章》中提出了同余式,,是个两两互质的正整数，,的一般解法.同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题.数论的发展以及
3、现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性质的一些简单应用，通过本文的阐述，希望可以为对数论有兴趣的读者，增加学习数论知识的兴趣，并能为他们攻破那些经典的数论难题开展数论课题课题提供一些帮助.2同余的概念给定一个正整数，把它叫做模，如果用去除任意两个整数与所得的余数相同，我们就说对模同余，记作,如果余数不同，就说对模不同余.由定义得出同余三条性质：（1）；（2）,则；（3）,,则.定义也可描述为:整数,对模同余的充分必要条件是,即,是整数.3同余的八条基本性质由同
4、余的定义和整数的性质得出[1]：（1）若,,则若,则（2）若,,则特别地,若,则（3）若,,则（4）若,,,,则（5）若,,则；若,是,及任一正公因数,则（6）若,,则其中是,个数最小公倍数（7）若,,,则（8）,,若能整除及,两数之一,则必整除,另一个.4同余性质在算术里的应用4.1 检查因数的一些方法例1一整数能被3(9)整除的充要条件是它的十进位数码的和能被3(9)整除.证:按照通常方法,把任意整数写成十进位数形式,即,.因,所以由同余基本性质,即当且仅当；同法可得当且仅当，.例2设正整数，，则7（或11或13）整除的充要条件是7（或11或13）
5、整除，.证：1000与-1对模7（或11或13）同余，根据同余性质知，与对模7（或11或13）同余即7（或11或13）整除当且仅当7（或11或13）整除，.例3=5874192，则，能被3，9整除，当且仅当能被3，9整除解：由例1证法可知，该结论正确.例4=435693，则，能被3整除，但不能被9整除当且仅当3是的因数，9不是的因数.解：由例1的证法可得.例5=637693，则，，能被7整除而不能被11或13整除当且仅当7是的因数但11，13不是的因数.解：由例2的证法可知，该结论正确.例6=75312289，，能被13整除，而不能被7，11整除当且仅
6、当13是的因数，而7与11不是的因数.解：由例2的证法可知.例7应用检查因数的方法求出下列各数标准分解式①1535625②1158066解：①，，，，，由例2得，，，，又，，，，，，.②，，，，，由例2得，，，又，，，，.4.2弃九法（验证整数计算结果的方法）我们由普通乘法的运算方法求出整数，的乘积是，并令，，，，，如果与对模9不同余，那么所求得的乘积是错误的.特别的，在实际验算中，若，，中有9出现，则可去掉（因）.例1=28997，=39495，按普通计算方法算得，乘积是=1145236515，按照上述弃九法，，.但与5对模9不同余，所以计算有误.例
7、2若=28997，=39495，=1145235615，那么？解：按照上述弃九法，，，.虽然与6对模9同余，但是由通常乘法计算得到，故不成立.注：当使用弃九法时，得出的结果虽然是也还不能完全肯定原计算是正确的.4.3同余性质的其他应用例1求7除的余数.解：由，，，，即除以7余数为4.例2试证：形如的整数不能表为三个平方数之和.证：假定，则，但这不可能.因为对模8而论.每一个整数最小非负余数只能是0，1，2，3，4，5，6，7中的一个数.而，，，，，，，.因此，任一整数平方对模8必与0，1，4三个数之一同余，而从｛0，1，4｝中任取三个数，其和都不可能与
8、7对模8同余，所以对于任何整数，，都有与7对模8不同余.即形如的整数不能表为三个平方数之和.例
