压缩感知概述

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1、压缩感知概述一、压缩感知的提出信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理。定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。但是，对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用，信号的带宽变得越来越大，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。然而传统的信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量的采样数据在压缩过程中被丢弃了，而它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。从这个

2、层面上讲：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是冗余的或者说是非信息的。近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知(compressedsensing)或压缩采样(compressivesampling)的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。二、压缩感知基本原理简单地说，压缩感知理论指出：当信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的，可以利用与变换矩阵非相干的测量矩阵将变换系数线性投影为低维观测向量，同时这种投影保持了重建信号所需的信息，通过进一步求解稀疏最优化问题就能够从低维观测向量精确地或高概率精确地重建原始高维信号。原理框图如图（一）所示：图一原理

3、框图图解：设长度为N的信号X在某组正交基或紧框架上的变换系数是稀疏的，则用一个与变换基不相关的观测基对系数向量进行线性变换，并得到观测集合Y：M*1，从而使得维数降低。即：Y==；。在该理论框架下，采样速率不再取决于信号的带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则：稀疏性和非相干性，或者说是稀疏性和等距约束性。当前压缩感知理论主要涉及三个核心问题是：信号系数表示即稀疏矩阵，观测矩阵，以及重构算法的设计。三、核心问题的解决1、信号稀疏表示如果一个信号中只有少数元素是非零的，则该信号是稀疏的。通常时域内的自然信号都是非稀疏的，但在某些变换域可能是稀疏的。例如，对于一幅自然图像，几乎所有的像素

4、值都是非零的，但是将其变换到小波域时，大多数小波系数的绝对值都接近于零，并且有限的大系数能够表示出原始图像的绝大部分信息。如图二（a）所示是大小为512×512的灰度图像，其小波系数如图二(b)所示(为增强其可视性，系数的排列是随机的)。图二(c)由绝对值最大的前10%个系数重构出的图像，可以看出重构图像与原始图像差别很小，但是需要保存的信息大大减少了。图二重构图像对比根据调和分析理论，一个长度为N的一维离散时间信号，可以表示为一组标准正交基的线性组合表示（式一），or（一）其中是投影系数构成的N×1的列向量，显然X与是同一个信号的等价表示，X是信号在时域的表示，是信号在域的表示，如

5、果只有很少的大系数则称X是可压缩的；若有K个元素非零，则称是信号X的K稀疏表示。另外当信号不能用正交基稀疏表示时，可采用冗余字典稀疏表示。通常变换基可以根据信号本身的特点灵活选取，常用的有离散余弦变换基、快速傅立叶变换基、离散小波变换基、Curvelets基、Gabor基以及冗余字典等。2、观测矩阵压缩感知理论中，通过变换得到信号的稀疏系数向量后，需要设计压缩采样系统的观测部分，它围绕观测矩阵展开。观测器的设计目的是如何采样得到M个观测值，并保证从中能重构出长度为N的信号X或者基下等价的稀疏系数向量。显然，如果观测过程破坏了X中的信息，重构是不可能的。观测过程实际就是利用M×N观测矩

6、阵的M个行向量对稀疏系数向量进行投影，即计算和各个观测向量之间的内积，得到M个观测值，记观测向量，即Y==。对于给定的Y从上式中求出是一个线性规划问题，但由于M<

7、要想使信号完全重构，必须保证观测矩阵不会把两个不同的K-项稀疏信号映射到同一个采样集合中，这就要求从观测矩阵中抽取的每M个列向量构成的矩阵是非奇异的。从中可以看出，问题的关键是如何确定非零系数的位置来构造出一个可解的M×K线性方程组。然而判断矩阵的RIP性质是一个组合复杂度问题，因而需要找到一种易于实现RIP条件的替代方法来构造观测矩阵。相关文献中指出如果保证观测矩阵和稀疏基不相干，则在很大概率上满足RIP性质，不相干是指向量不能用稀疏表示，不相干性越强，