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1、摇应用数学和力学,第34卷第3期AppliedMathematicsandMechanics摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇2013年3月15日出版摇摇Vol.34,No.3,Mar.15,2013文章编号:1000鄄0887(2013)03鄄0252鄄07訫应用数学和力学编委会,ISSN1000鄄0887*经典SIR模型辨识和参数估计问题何艳辉,摇唐三一(陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710062)(我刊编委唐三一来稿)摘要:摇可辨识与否是模型的基本特性,也是研究模型参数估计的基础.在传染病动力学中,SIR模型仍是最常用的模型.该文研究了如何用高阶导数法与
2、多观测点法判定SIR模型的可辨识性.研究表明针对SIR模型的可辨识技巧中多观测点法优于高阶导数法.不仅从理论上判定了SIR模型的可辨识性,而且结合流感疫情数据通过参数估计进一步验证了SIR模型的可辨识性.文中发展的技巧和方法有望推广到其他类型的传染病模型辨识和参数确定上.关摇键摇词:摇可辨识性;摇高阶导数法;摇多观测点法;摇辨识函数;摇参数估计中图分类号:摇O213摇摇摇文献标志码:摇ADOI:10.3879/j.issn.1000鄄0887.2013.03.005引摇摇言日益完善的各种疾病观测数据为辨识性分析提供了保障,也为针对传染病动力学模型的辨识性研究提供了数
3、据支撑.模型可辨识性的直观理解即在给定可观测值与初值时,模型中所有参数是不是有且仅有唯一估计值.对于模型可辨识性严格的数学定义,可参见文献[1].为了使模型具有实际应用,理论上应该先从模型可辨识性入手.如果是可辨识的,才能论及模型参数估计与相应的统计推断.然而实际操作中更多的是直接估计模型参数并做统计推断,此时一旦有参数不可辨识,则所做的统计推断是不合理的.因为如果模型中有参数不可辨[2鄄3][4]识,那么它的估计值就不唯一,即该参数不收敛.本文运用高阶导数法与多观测点法,通过构建适当的辨识函数,在先从代数的角度给出了SIR(susceptible鄄infectio
4、us鄄recovered)模型的[5]可辨识性条件.然后结合英国流感疫情数据计算得到所需的辨识等式判定了SIR模型是可辨识的.最后,采用非线性最小二乘法(NLS)来估计SIR模型中可辨识的参数,进一步验证了其可辨识性.需要说明,本文均用圆点数或圆括号里的数表示各阶导数.1摇SIR模型可辨识性假设:1)一类传染病在某一地区中传播,且所研究地区的种群的总数N是常数;2)S类、I类、R类种群都具有出生能力且新出生的个体都属于易感者类;3)每一类都具有自然出生率*收稿日期:摇2013鄄01鄄15基金项目:摇国家自然科学基金资助项目(11171199)作者简介:摇何艳辉(19
5、87—),女,江西人,硕士(E鄄mail:yanhuiqun1988@163.com);唐三一(1970—),男,教授,博士(通讯作者.E鄄mail:sytang@snnu.edu.cn).252何摇摇艳摇摇辉摇摇摇唐摇摇三摇摇一253与死亡率.模型所考虑地区中的种群数量N分成3类:易感者类(susceptible,S类)、染病者类(infec鄄tive,I类)和移除者类(removed,R类),即有N=S+I+R,则该SIR模型为ìS=bN-茁SI-dS,ïï摇摇íI=茁SI-酌I-dI,(1)ïïîR=酌I-dR,其中,自然出生率与死亡率分别用b,d表示,单位时
6、间内一个病人传染易感者的概率用茁表示,用酌表示单位时间内从染病者中的移出率,并用兹=(b,茁,d,酌)表示该模型参数向量.在实际生活中,我们容易收集到病人数I的数据,而易感者S和移除者R的数据难以获得,所以I是观测状态变量,S和R是未观测(或潜在)状态变量.*4代数上系统(1)的可辨识性定义是指对于某个时间t,某个正整数k,存在一个函数椎:R4(k+1)4伊R寅R满足以下条件:鄣椎摇摇det屹0,鄣兹(k)摇摇椎(兹,I,I,…,I)=0,(2)(k)*其中,I,…,I是I在[0,t]上关于时间t的各阶导数,且分别称等式(2)为辨识方程,函数椎(·)为辨识函数.由上
7、述定义可知,要分析模型(1)的可辨识性需先构建适当的辨识函数.而且,为了消去其未观测(或潜在)状态变量(即S,R),应对其观测状态变量(即I)求高阶导数.由模型(1)前两个等式易得I的二阶导数(记为I)为摇摇I=茁SI+茁SI-(酌+d)I=摇摇摇摇茁SI+茁(bN-茁SI-dS)I-(酌+d)I=12摇摇摇摇(I+酌I+dI)(I-茁I-dI)+茁bNI-(酌+d)I=I2I2摇摇摇摇+茁bNI-茁II-茁(酌+d)I-dI-d(酌+d)I.(3)I显然上式已经不含未观测状态变量S与R了,否则还需求I的更高阶导数.为了方便,我们记c*=茁bN,浊=酌+d,易知
