高中数学第一章定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案含解析

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1、1．5.1～1.5.2　曲边梯形的面积　汽车行驶的路程曲边梯形的面积如下图，阴影部分是由直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝x2所围成的曲边梯形．问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1

2、)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图甲)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图乙)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．12“以直代曲”的思想曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积

3、，把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种很重要的思想．汽车行驶的路程问题：利用“以直代曲”的思想可以求物体做变速直线运动的路程吗？提示：可以．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么它在时间t所在的区间内的路程(或位移)也可以运用①分割；②近似代替；③求和；④取极限的方法求得．变速直线运动的路程与曲边梯形的面积间的关系与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题化归为求匀

4、速直线运动的路程问题．求曲边梯形的面积　　　求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x3所围成的图形的面积．　(1)分割如右图所示，用分点，，…，，把区间等分成n个小区间，，…，，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝(i＝1,2,3，…，n)．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.12(2)近似代替各小区间的左端点为ξi，取以点ξi的纵坐标ξ为一边，以小区间长Δx＝为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ·Δx＝3·(

5、i＝1,2,3，…，n)．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即S＝Si≈3·.(4)取极限当分点数目越多，即Δx越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n→∞，即Δx→0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积．因为3·＝(n＋i－1)3＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]＝，所以S＝li3·＝1＋＋1＋＝.求曲边梯形的面积应关注两点(1)根据步骤“分割、近似代替、求和、取极限”求曲边梯形的面积S，实质是

6、用n个小矩形面积的和Sn来逼近，Sn的极限即为所求曲边梯形的面积S.求小矩形面积时，一般选取函数在相应小区间的左端点值．(2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值．12求由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线y＝2x2所围成的曲边梯形的面积．解：(1)分割在区间上等间隔地插入n－1个分点，把区间等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝，每个小区间内曲边梯形的面积记为ΔSi(i＝1,2，…，n)，显然S＝Si.(2)近似代替记

7、f(x)＝2x2，取ξi＝(i＝1,2，…，n)，于是ΔSi≈ΔSi′＝f·Δx＝22·(i＝1,2，…，n)．(3)求和Sn＝Si′＝2·＝1＋2＋2＋…＋1＋2＝n＋＋＝＝2＋2＋.从而得到S的近似值S≈Sn.(4)取极限S＝liSn＝li2＋2＋1－·＝.求变速运动的路程　有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？　(1)分割在时间区间上等间隔地插入n－1个分点，将它等分成n个小区间．记第i个小区间为(i＝1,

8、2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.12每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝si.(2)近似代替取ξi＝(i＝1,2，…，n)．于是Δsi≈Δsi′