高中数学第1章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念学案新人教A版

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1、1.5.1　曲边梯形的面积1.5.2　汽车行驶的路程1.5.3　定积分的概念学习目标核心素养1.了解定积分的概念．(难点)2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点)3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．(难点)4.能用定积分的定义求简单的定积分．(重点)1.通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.2.借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(1)曲边梯形的面积①曲线梯形：由直线x＝a，x＝b

2、(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．②求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．图①　　　　　　　　　　图②③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限．(2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

3、2．定积分的概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．思考：f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx与积分变量有关系吗

4、？[提示]　由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.3．定积分的几何意义与性质(1)定积分的几何意义由直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：①　　　　　　　②　　　　　　　　③①在区间[a，b]上，若f(x)≥0，则S＝f(x)dx，如图①所示，即f(x)dx＝S.②在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则S＝－f(x)dx，如图②所示，即f(x)dx＝－S.③若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上

5、，f(x)≤0，则S＝f(x)dx－f(x)dx，如图③所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)．(2)定积分的性质①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值(　　)A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正确C　[作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误

6、差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．]2．如图所示，图中阴影部分的面积用定积分表示为(　　)A.2xdxB.(2x－1)dxC.(2x＋1)dxD.(1－2x)dxB　[根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.]3．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.　[∵x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，∴(x2＋1)dx＝x2dx＋x2dx＋1dx＝＋＋2＝＋2＝.]求曲边梯形的面积【例1】　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．[解]　(1)

7、分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：，，…，，…，，简写作(i＝1,2，…，n)．每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈－