高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案含解析

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1、二一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成

2、立．利用柯西不等式证明不等式　设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥.　根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．　∵(x1＋x2＋…＋xn)＝·≥2＝n2，∴＋＋…＋≥.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)．在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知a，b，c，d∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≤3.证明：根据柯

3、西不等式，有6(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18，∴＋＋≤3.2．设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝.求证：＋＋≥1.证明：法一：由柯西不等式，得·9＝＝·≥2＝9，当且仅当()2＝()2＝()2，即a1＝a2＝a3＝时，等号成立，所以＋＋≥1.法二：因为≥3·3＝9，当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立，又a1＋a2＋a3＝，所以·2×≥9，所以＋＋≥1.利用柯西不等式求最值　(1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求＋＋的最小值．(2)设2x＋3y＋5z＝29，求函

4、数μ＝＋＋的最大值．　(1)巧妙利用“1”的代换，构造柯西不等式来求最值．(2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值．　(1)∵x＋y＋z＝1，6∴＋＋＝(x＋y＋z)≥2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．所以＋＋的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(·1＋·1＋·1)2≤·(1＋1＋1)＝3×(2x＋3y＋5z＋11)＝3×40＝120.故＋＋≤2，当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．此时μmax＝2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标

5、函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．3．已知：x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则＋2＋的最大值为(　　)A．2B．2C．4D．5解析：选C　∵(＋2＋)2＝(1×＋2＋·)2≤(12＋22＋()2)＝8(x＋y＋z)＝16.∴＋2＋≤4.4．把一根长为12m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截才能使围成的三个正方形面积之和S最小？请求出最小值．6解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，，均为正数，三个正方形面积之和S＝2＋2＋2＝(x2＋y2

6、＋z2)．∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3.当且仅当＝＝时，等号成立．又x＋y＋z＝12，∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3.故把绳子三等分时，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，最小值为3m2.课时跟踪检测(十)1．设a＝(－2,1,2)，

7、b

8、＝6，则a·b的最小值为(　　)A．18　　　　　　　　　　B．6C．－18D．12解析：选C　

9、a·b

10、≤

11、a

12、

13、b

14、，∴

15、a·b

16、≤18.∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a，b最小，

17、最小值－18.2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选A　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.3．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(　　)A．5B．－5C．25D．－25解析：选B　(ab＋bc＋cd＋da)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)

18、＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立，∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.4．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　)A.B.6C.D.解析：选A　由柯西不等式，得2≤(x2＋y2＋z2)，即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，即16≤14(x2＋y2＋z2)，所以x