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《2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案（》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二一般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式设盘2,chfbfbi、是买数，贝!J（£+£+£）（/+§+嵐2（曰仏+日2厶+型厶）？,当且仅当5=0（,=1,2,3）或存在一个数k,使得/=A5（f=l,2,3）时等号成立.2.-般形式的柯西不等式设臼1,血,…，anfb,bi,&,…，方“是实数，贝I」（云+朮丛）（戻+方：方：）2（0方I+型厶H',当且仅当Z?/=0（7=1,2,…，/?）或存在一个数斤,使得a：=kbi（i=,2,…，刀）时，等号成立.设加利用柯西不等式证明不等式111C&,…，血
2、都是正数，求证：点+…+护+;…+血根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯四不等式证明.・・・2+*+・・・+2^屋+曲+・・・+山［方法・规律•小结］柯西不等式的结构特征可以记为：（日I+型FaJ（&+&H〃”）2（寸0b+y［a^bi~卜寸a“b）2.其中角，血WR卜（7=1,2,…，刀）.在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键.〃〃几龜值車^//////1・已知自，b,c,且臼+方+c=l.求证：寸3&+1+y/3b+1+p3c+
3、1W3寸^.证明：根据柯西不等式，有（寸3臼+]+寸3力+]+寸3c+]）2W仃+1+1）（3臼+1+3〃+1+3c+1）=18,・•・寸3臼+1+寸3方+1+p3c+lW3^/2.9白1+型+曰2+昂+金十曰I”'2.设创，02,&3均为正数，且自+戲+自3=7求证:证明：法一：由柯西不等式，得&1+型+型+昂+昂十&1当且仅当2臼1+也）'=2佥+』=（寸昂+臼】）S即＜31=⑵=0=
4、fl寸，等号成立,所以]日1+$2]G+日3$1.]&j+日1K气————・3^+^/日1十金&2十空日3十日1V❻+禺3：
5、i+Si=9,当且仅当0=玄2=负时,等号成立,9又臼1+g+禺=空，所以9・2X产9,日1+/+&?+日3+昂+日1利用柯西不等式求最值$1.149（1）己知―ZWR+,且卄+=1,求才-+7的最小值.⑵设2^+3y+5z=29,求函数〃=佃+1+0+4+^5z+6的最大值.(1)巧妙利用“1”的代换，构造柯西不等式来求最值.(2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值.(1)V%+y+z=l,=(1+2+3尸=36・当且仅当尸Af,即y=*,2=*吋，等号成立.149所以一+-+-的最小值为36.xyz(2)根据
6、柯西不等式，有(yj2x+1■1+寸3y+4■1+寸5z+6•1)2W・仃+1+1)=3X(2x+3y+5?+ll)=3X40=120.故她+1+寸3y+4+p5z+6W2倔，当且仅当2x+l=3y+4=5z+6,此时—2寸帀.[方法•规律•小结]利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件.〃〃几題血車^//////3・已知：x,y,泻R+且以+y+z=2,则心+2寸7+诵^的最大值为()A.2^7B.2^3C.4D.5解析：选C•.*(y[x+2y[y+y[
7、^z)2=(1X©+2寸7+羽・y[z)2^⑴+2‘+(萌)')=8(x+y+z)=16(当且仅当”=»=扌2=扌吋，等号成立)y[x+2y[y+4.4.把一根长为12in的细绳截成三段，各围成三个正方形.问：怎样截才能使围成的三个正方形面积之和S最小？请求出最小值.XV解：设三段绳子的长分别为丛y,z,则x+y+z=12,三个正方形的边长分别为孑”f均为正数，三个正方形而积之和8=（》+盼+©2=缶,+『2+刃.•・・（I2+12+12）（/+y+z）2（x+y+z）2=122,即x+y+z^A&从而S2y^X4
8、8=3.lb当且仅当时，等号成立.又x+y+z=12,・•・*=y=z=4时,$山=3.故把绳子三等分时，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，最小值为3m2.课吋跟踪检测（十）1.设日=（一2,1,2）,
9、方
10、=6,则$•方的最小值为（）A.18B.6C.-18D.12解析：选Ca•A
11、^
12、a
13、b9••Ia•方
14、W18.•I—18We•方W18,当臼，方反向时,a,b最小，最小值—18.2.已知ai+a>~£=1,#+左+•••+£=1,则自必+型益禺疋的最大值是（）A.1氏2C・3D.4解析：选A（日必
15、+也尿缶x$W（常+£F云）（彳+£1-£）=1X1=1,当且仅S-=-=-<31日2•——1时取諄T，••日*+日2曲/A■”的最大值是1.3.己知a+lf+c+d=5,则ab+bc+cd+ad的最小值为（）A.5B.-5C.25D.-25解析：选B（臼方+比+c〃+旳）'W（/+//+*+/）•（//+（?+/+/）=25,当且仅当白/.ab+bc+cd
