圆内接四边形的性质与判定定理课件(人教A选修4-1)

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1、[读教材·填要点]1．圆内接四边形的性质定理定理1：圆内接四边形的对角．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的．互补对角2．圆内接四边形的判定定理(1)定理：如果一个四边形的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．3．判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的，那么这个四边形的四个顶点共圆．互补对角180°[小问题·大思维]1．所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆．2．如果一个平行四边

2、形有外接圆，它是矩形吗？提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°，所以该平行四边形一定是矩形．[研一题][例1]如图，在△ABC中，AD＝BD，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．分析：本题考查四点共圆的判定定理及性质定理的应用．解决问题(1)可利用“如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆”，解决问题(2)可利用判定定理的推论证明．证明：(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF的中点到D、E、F、G四点距离相等

3、，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE，∴∠GFE＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．[悟一法]判定四点共圆的方法常有：(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．[通一类]1．在△ABC中，AB＝AC，

4、延长CA到P，延长AB到Q，使AP＝BQ，连接PQ.求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆．证明：如图，连接OA、OC、OP、OQ.在△OCP和△OAQ中，OC＝OA.由已知CA＝AB，AP＝BQ.∴CP＝AQ.又O是△ABC的外心，∴∠OCP＝∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，∴∠OAC＝∠OAQ，从而∠OCP＝∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠CPO＝∠AQO.∴O、A、P、Q四点共圆.[研一题][例2]如图，两圆⊙O1，⊙O2相交于A，B.⊙O1的弦BC交⊙O2于E点，⊙O2的弦BD交⊙O1于F点．证明：(1)若∠DBA＝∠CBA，则DF＝C

5、E.(2)若DF＝CE，则∠DBA＝∠CBA.分析：本题考查圆内接四边形的判定及性质．解决本题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等．[悟一法](1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新的途径．(2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的．[通一类]2．两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF.证明：如图，连接E

6、C、BE、BD、BC、BF.因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠BCD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF.所以CD＝EF.[研一题][例3]如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.分析：本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角形等问题．解答本题可连接BD，通过证明△EBD∽△EFA来解决．[悟一法]证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证

7、明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系．[通一类]3．试证明：在圆内接四边形ABCD中，AC·BD＝AD·BC＋AB·CD.圆内接四边形的判定及性质是高考重点考查的对象之一，2011年全国新课标卷将圆内接四边形的判定与三角形的相似及一元二次方程的根与系数的关系相结合综合考查，是高考模拟命题的一个新考向．[考题印证](2011·全国课标卷)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠