B4- 积分形式的基本方程

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1、B4积分形式的基本方程输运公式伯努利方程连续性方程动量方程能量方程动量矩方程固定控制体运动控制体固定控制体匀速运动控制体固定控制体旋转控制体系统导数固定控制体1系统---包含确定流体介质的集合,无质量交换有能量交换系统的质量系统的动量系统的动量距是单位体积的物理量系统的体积控制体---流体流过的固定边界包含的体积控制面---固定边界构成的面,有质量交换有能量交换引言2系统广延量控制体广延量B4.1流体系统的随体导数•输运公式①③②①系统广延量的导数，称为系统导数。②控制体广延量随时间变化率,称为当地变化率；当流场定常时为零。③通过控制

2、面净流出的广延量流量,称为迁移变化率；当流场均匀时为零。输运公式计算取决于控制体(面)的选择3t时刻界面S，体积τ体积τ(t+Δt)SτS’τ(t+Δt)τ1τ2t+Δt时刻界面S’4t时刻界面S，体积τ体积τ(t+Δt)SτS’τ(t+Δt)τ1τ2t+Δt时刻界面S’S1S2物理量流量5高斯公式输运公式质量守恒6t时刻界面S，体积τ体积τ(t+Δt)SτS’τ(t+Δt)τ1τ2t+Δt时刻界面S’物理量流量S1S2动坐标系的输运公式7输运公式系统质量的随体导数系统动量的随体导数物理量流量质量流量动量流量系统体积的随体导数体积流量

3、①②③④8B4.2积分形式的连续性方程B4.2.1固体的控制体上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。输运公式可用于任何分布函数，如密度分布、动量分布、能量分布等。令，由系统的质量不变可得连续性方程对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为9系统质量的随体导数质量流量连续性方程高斯公式nr替换Ñ质量流量10流进面1流出面2AB流进面1流出面21.沿流管的定常流动11流进面1流出面2AB流进面1流出面21.沿流管的定常流动12设出入口截面上的质流量大小为1.沿流管的定常流动•一般式•有多个出入口2.沿流管的

4、不可压缩流动设出入口截面上的体积流量大小为•一般式•有多个出入口13[例B4.2.1]主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程已知:所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6l/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q5=0.78Q1求：Q2及各管的平均速度解：取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理可得Q1=Q2+Q3+Q4+Q5Q2=Q1－(Q3+Q4+Q5）=Q1－(0.07+0.04+0.78)Q=0.11Q1=

5、0.66l/min14各管的平均速度为[例B4.2.1]主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程Q1=6l/min1升=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米15B4.2.2运动的控制体将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时上式中，vr分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。16[例B4.2.1b]变水位孔口出流：随时间变化的控制体已知圆柱型水箱,D=1m,d=0.1m,放水前水深H=1m,假设孔口出流速度为v2=2gh?,h(t)为任意时刻的

6、水深。DdhvH求孔口打开至水放空所需时间T放空h=017[例B4.2.2]圆管入口段流动：速度廓线变化已知:不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓线,不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。求：充分发展流动的速度廓线表达式解：设充分发展流动的速度廓线为指数形式式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取n=1/7-1/10.由连续性方程:(b)式左端=πR2U,(b)式右端=(b)(a)UR18[例B4.2.2]圆管入口段流动：速度廓线变化由积分公式可得取n=1/7时由(b)式可得或U

7、=0.8167um19B4.3伯努利方程及其应用伯努利方程的推导：由一维欧拉运动方程沿流线积分伯努利方程的限制条件：(3)定常流动伯努利（D.Bernouli1700－1782）方程的提出和意义(2)不可压缩流体(1)无粘性流体(4)沿流线成立20加速度的变体2122欧拉方程可化为葛罗米柯方程（欧拉方程的另一种形式）：葛罗米柯方程P压力函数W势函数23理想流体微分方程的积分恒定流时葛罗米柯方程方程可化为：流线切线方向沿流线伯努利方程24K=0,伯努力方程P压力函数W势函数伯努力方程化为当质量力只有重力时，对理想、不可压缩流体有伯努利方

8、程25行列式为零的情况静止流体：，得到静力学基本方程无旋流动：流线：涡线：螺旋运动???：无旋流动伯努利方程处处成立26流线方向的速度压强关系切向加速度几何关系定常流动zxyG27元流伯努利方程的应用——毕托管测速仪滞止