铅球掷远问题-数学模型

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1、2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果实违反竞赛规则的，如果引用别人的成果后其他公开的资料(包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公平、公正性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/

2、C/D中选择一项填写)：C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名)：1.赵彬2.李欣3.尹欢欢日期：2012年5月22日评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表评阅人评分备注铅球投掷问题摘要本文主要对影响铅球掷远成绩因素进行了研究，采用牛顿力学等物理的分析法和微分知识建立了数学模型，运用MATLAB软件编程绘图进行模型求解和分析，使问题得以解决。问题一，由于空气阻力、铅球本身、天气情况等因素的影响相对较小，可忽略。运用

3、运动物理学知识建立投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的多元方程关系，对掷远水平位移L关于θ求导可知，简化可得到最优出手角度θ与出手速度v和出手高度h之间的函数关系，再运用MATLAB软件编程将这一关系图作出(见图3),可直观的判断运动员最优出手角度的大致范围在3842之间。问题二，为分析最优出手角度θ与出手速度v的制约关系，先对铅球做力学分析，运用牛顿力学知识建立数学模型（见方程（13）），根据该模型可知，最优出手角度θ会随出手速度v的减小而减小，结合方程（9）可得，运动员不能使初速度达到最大的情况下，应适当减小投掷角度的结论。再利用

4、MATLAB软件编程将投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的关系图作出(见图5)，可以确切的求出各个最优角度与初速度的对应值。问题三，分析了影响铅球投掷远度的因素，从空气阻力、推力大小、出手高度、施力距离对铅球掷远距离L的影响分别建立函数模型，通过取点绘图的方法比较各因素的影响，最后根据结论有效的分析了教练员在训练运动员时应从哪些方面提高运动员的成绩。关键词：运动物理学多元方程MATLAB编程图形分析力学分析一、问题提出1.1背景资料与条件众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为o2.135m的投

5、掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。如图1：452.135m图1铅球投掷场地1.2需要解决的问题(1)建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？(2)如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？(3)分析影响铅球投掷远度的因素有哪些？并由此分析下教练员在训练运动员时应从哪些方面提高运动员的成绩。1.3参考资料参考数

6、据资料如下：表1李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度出手高度出手角度实测成绩ov(m/s)h(m)()李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯卢皮亚内13.772.0640.0021.41克表2我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m)出手速度出手角度出手高度ov(m/s)()h(m)李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黄志红20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.

7、0835.131.95二、问题分析铅球是一项非常重要的体育竞技项目，而在一些重要的比赛中，运动员经过训练，其投掷铅球的力度基本相同，也就是说决定竞赛胜负的往往是运动员的掷球技巧。而要提高技巧，运动员必须对铅球的整个运动情况有所了解，以下是对各个影响铅球掷远因素的分析：问题一，为求出最佳投掷角，考虑到空气阻力的影响非常小可以忽略。首先必须对铅球的整个运动情况进行运动学的分析，根据运动学知识求出投掷水平位移L和出手角度θ、出手速度v之间的多元方程后，再对L关于θ求导，便可求得最佳出手角度θ的表达式。问题二，分析最优出手角度θ与出手速度v的关系可以

8、通过分析铅球受力情况，用牛顿力学公式表示出定量推力F0与最优出手角度θ、出手速度v之间的等式，从而容易分析出θ与v之间的制约关系，另外为了更形象地表达出投掷水平位移