复数域数学模型-传递函数

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1、第二节复数域数学模型—传递函数第二章控制系统的数学模型建立系统微分方程的目的是什么？如何求解得到的微分方程式？对于高阶线性微分方程如何求解？使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些优势？思考？在求解方法上：计算简单(把微积分运算变换成代数运算或查表)，容易求出系统对输入的响应。引入传递函数的概念(复数域数学模型)，把系统的动态性能和传函的零极点联系起来，使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法)分析和设计系统成为可能。优势：项目内容教学目的从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的传递函数形式过渡。教学重点熟悉传递函数的

2、各种一般表达形式。教学难点传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思维方法。对典型环节传递函数的理解。讲授技巧及注意事项注重微分方程同传递函数的对比。2-2复数域数学模型—传递函数本节课的学习思路：从多个方位来观察我们将要研究的对象—传递函数，为下一步深入细致的讨论(第四章和第五章)做准备。本节内容拉式变换传递函数的概念和表达形式系统传递函数的建立典型环节的传递函数拉式反变换1.定义：设函数f(t)当时有定义，设且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。f(t)称为F(s)的拉氏逆变换。记为：原函

3、数象函数2-2传递函数一拉氏变换(2)例2求阶跃函数的拉氏变换。(1)例1求单位脉冲函数的拉氏变换。单位阶跃函数的拉氏变换为。2.常用函数的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)1t3.几个重要的拉氏变换（掌握）(1)线性性质(2)积分性质(3)微分性质4.拉氏变换的基本性质(4)终值定理(5)初值定理(6)时间比例尺(相似)定理a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以。b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以。即(7)位移定理1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉

4、氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。二拉氏反变换若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。展开的常用方法有：配方法比较系数法留数法例1：求的拉氏反变换。例2：求的拉氏反变换。配方法解：解：比较系数法留数法F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和：numernationdenominato

5、r（1）D(s)=0没有重根其中：所以：所以：(2)D(s)=0包含r重根其中：由于：所以：例5求的拉氏反变换。其中：所以：所以：解：设用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤①对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，方程中的初始值应取系统在t=0时刻的对应值；②求出系统输出变量的表达式；③将输出变量的表达式展开成部分分式；④对部分分式进行反变换，即得微分方程的解。例6.已知系统的微分方程式为：并且设：，试求微分方程的解。解：方程两边进行拉氏变换代入初始值变换形式可得设其中：所以：两端进行拉氏反变换，得如果使用比

6、较系数法：通分后令比较系数得同样求出两端进行拉氏反变换，得线性定常系统微分方程的一般形式为：1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。三传递函数的概念和表达形式c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则在零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，由微分性质得到系统传递函数为：标准形式、有理分式形式或多项式形式在零初始条件下求系统或环节的传递函数，只需要将微分方程中变量的各阶导数用s的相应幂次代替就行了，因此从微分方程式求传递函数非常容易。经过变换后，我们把一个复杂的微分方程式变换

7、成了一个简单的代数方程。为系统增益（放大系数）返回尾1形式因式分解时间常数形式典型环节形式各项提取an各项提取bm传递函数的第二种表达形式为根轨迹增益首1形式因式分解零极点增益形式根轨迹形式各项提取a0各项提取b0传递函数的第三种表达形式稳态增益K和根轨迹增益K*的定义及关系：这两个参数是重要的调试参数。称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为系统的阶次。D(s)=0称为系统的特征方程。分母传递函数的三大表达形式：传递函数的零极点分布图传函的零极点分布图2.传递函数的性质（1）对应性：传递函数与微分方程一一对应。如果将

8、置换，传递函数微分方程（2）固有性：传递函数表征了系统本身的动态特性。传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。（3）局限性：只反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。（4）唯一性。（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应，反之，系统单位脉