D114函数展开成幂级数(I)

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1、第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十一章一、泰勒(Taylor)级数其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.若函数的某邻域内具有任意阶导数,问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.由此例如，那么，什么时候泰勒级数一定收敛于f(x)呢？定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:

2、证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知级数展开式0.的函数展开例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:

3、其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足思考题：试将展开成x的幂级数.答案：称为二项展开式.说明：(2)在x＝±1处的收敛性与m有关,由下列情形可以看出.(1)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.类似例1，例2可得：对应的二项展开式分别为2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例3.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得将所给函数展开成幂级数.例4.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛例5.将展成解:的幂级数.例

4、6.将展成x－1的幂级数.解:内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当m=–1时快速思考题1.将在x=0处展为幂级数.解:因此备用题2.3.