函数展开成幂级数(I)

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1、1一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?2n阶泰勒公式若函数在的某邻域内具有阶导数,则在该其中(在x与之间)称为拉格朗日余项.此式称为的阶泰勒公式,邻域内有:3如果在的某邻域内存在任意阶导数,则称下为的泰勒级数.列级数当时,泰勒级数变为.称为麦克劳林级数.4待解决的问题:1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为麦克劳林级数5定理1各阶导数,设函数在点的某一邻域内具有则条件是的泰勒公式中的余项满足证明:令在该邻

2、域内能展开成泰勒级数的充要6定理2若能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设则在收敛区间内显然结论成立.7二.函数展开成幂级数1.直接展开法由上述泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间是否内为0.函数展开成幂级数的步骤如下:8例1.将函数展开成x的幂级数.解:级数的收敛半径为对任何有限数x,其余项有故(在0与x之间)9例2.将函数展开成x的幂级数.解:级数的收敛半径为对任何有限数x,其余项有10类似可推出11例3.

3、将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:容易求出于是由于因此,对任意常数级数在开区间内收敛.m,12为了避免研究余项,设此级数的和函数为推导13由此得称为二项展开式.说明：1.在处的收敛性与有关.2.当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.14对应的二项展开式分别为152.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,将所给函数展开成幂级数.例4.将函数展开成x的幂级数.解:把x换成,得16例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分上式右端的幂级数在收敛,而在有定义,且连续,所以展开式对

4、也是成立的,于是收敛区间为利用此题可得17181920例8.将展成解:的幂级数.21例9.将展成的幂级数.解:2223内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法利用泰勒公式;(2)间接展开法利用幂级数的性质及已知展开式的函数.2.常用函数的幂级数展开式24当m=–1时25作业11-4P2232(2),(3),(5),(6);3(2);4;626返回27