zfh09曲线积分与曲面积分

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1、数学实验高等数学（下）曲线积分与曲面积分实验目的学习用软件计算曲线积分、曲面积分实验内容、曲线积分1、对弧长的曲线积分若L：α≤t≤β，则若L：α≤t≤β，则[例1]计算，为x2+y2=a2中的一段弧。[解]方法Ⅰ：选x为参数，则yxAB0方法Ⅱ：选y为参数，则方法Ⅲ：选t为参数，则有参数方程>>symst>>I=int(x*y*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2),atan(sqrt(3)),pi/2)运行结果：I=1/8*a^2*(a^2)^(1/2)>>I=simple(I)运行结果：I=1/8*a^32、对坐标的曲线积分L是二维有向曲线：t：α→βΓ是三维有向曲线

2、：t：α→β[例2]计算∫Γx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中Γ是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0）的直线段。[解]直线段的方程为化为参数方程t：1→0>>symst>>x=3*t;y=2*t;z=t;>>I=int(x^3*diff(x)+3*z*y^2*diff(y)-x^2*y*diff(z),t,1,0)运行结果：I=-87/43、格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。[例3]计算曲线积分∮L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy，其中L是区域0≤x≤1，0≤y≤1的边界正

3、向。[解]令P（x,y）=x2+xyQ（x,y）=x2+y2由格林公式得>>symsxy>>P=x^2+x*y;Q=x^2+y^2;>>I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1)运行结果：I=1/2二、曲面积分1、对面积的曲面积分若曲面Σ的方程为:z=z(x,y),则［例4］计算曲面积分其中Σ为锥面被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。解：步骤(1)由Σ的参数方程作曲面Σ的图形和Σ在xoy平面的投影区域Dxy的图形；(0≤t≤2π)(2)建立直角坐标系下的被积函数；(3)将F(x,y)作极坐标变换x=rcost,y=rsint;(4)将曲面积

4、分化为对r,t的二次积分(5)化简积分结果程序：2、对坐标的曲面积分化为二次积分[例5]计算，其中Σ是上半球面的上侧。[解]步骤：1、作上半球面Σ的图形及其在三个坐标平面的投影图形；2、计算I＝I1＋I2＋I33、高斯公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数p(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续导数，则有[例6]用高斯分式计算例5[解]分析：积分曲面Σ不是封闭曲面，添加平面Σ1:z=0使构成封闭曲面Σ＋Σ1。步骤：(1)计算沿封闭曲面的积分令P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z,(2)计算Σ1上的曲面积分(3)>>symsaxyz

5、srt>>P=x*z^2;>>Q=x^2*y-z^2;>>R=2*x*y+y^2*2;>>f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z);>>f=subs(f,{x,y,z},{'r*sin(s)*cos(t)','r*sin(s)*sin(t)','r*cos(s)'});>>I1=int(int(int(f*r^2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2),t,0,2*pi)运行结果：I1=2/15*a^5*pi>>I2=int(int('2*x*y',y,-sqrt(a^2-x^2),sqrt(a^2-x^2)),x,-a,a)运行结果：I2=0>>I=I1

6、-I2运行结果：I=2/15*a^5*pi上机实验题1、计算下列曲线积分,其中L为摆线一x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π)。，其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。,其中L是抛物线y=x2上从点（－1,1）到点（1,1）的一段弧。,其中L为圆周(x-1)2+y2=2，逆时针方向。2、计算下列曲面积分，其中Σ为平面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分.(2),其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧。(3)，其中Σ是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9的整个表面的外侧。