《D116一致收敛》PPT课件

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1、函数项级数的一致收敛性*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质机动目录上页下页返回结束第十一章10/1/2021阜师院数科院一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,级数每项在[0,1]上都连续,其前n项之和为和函数该和函数在x＝1间断.机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院因为对任意x都有:所以它的收敛域为(－∞,+∞),但逐项求导后的级数其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.又如,函数项级数问题:对什么样的函数项级数才有:逐项连续和函

2、数连续;逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院定义.设S(x)为若对都有一个只依赖于的自然数N,使当n>N时,对区间I上的一切x都有则称该级数在区间I上一致收敛于和函数S(x).在区间I上的和函数,任意给定的>0,显然,在区间I上一致收敛于和函数S(x)部分和序列一致收敛于S(x)余项一致收敛于0机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院几何解释:(如图)当n>N时,曲线总位于曲线之间.机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院例1.研究级数在区间[0,+∞)上的收敛性.解:机

3、动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院余项的绝对值:因此,任给>0,取自然数则当n>N时有这说明级数在[0,+∞)上一致收敛于机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院例2.证明级数在[0,1]上不一致收敛.证:取正数对无论多么大的正数N,因此级数在[0,1]上不一致收敛.机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院说明:对任意正数r<1,级数在[0,r]上一致收敛.事实上,因为在[0,r]上任给>0,欲使只要因此取只要即级数在[0,r]上一致收敛.机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院维尔斯特拉斯(Wei

4、erstrass)判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数在区间I上满足:则函数项级数在区间I上一致收敛.简介目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院证:由条件2),根据柯西审敛原理,当n>N时,对任意正整数p,都有由条件1),对x∈I,有故函数项级数在区间I上一致收敛.证毕机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院推论.若幂级数的收敛半径R>0,则此级数在(－R,R)内任一闭区间[a,b]上一致收敛.证:则对[a,b]上的一切x,都有由阿贝尔定理(第三节定理1)级数绝对收敛

5、,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点.证毕机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院例3.证明级数在(－∞,+∞)上一致收敛.证:而级数收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(－∞,+∞)上一致收敛.机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式可利用导数求例如,级数用求导法可得已知收敛,因此原级数在[0,+∞)上一致收敛.机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院二、一致收敛

6、级数的基本性质定理1.若级数证:只需证明由于机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院因为级数一致收敛于S(x),使当n>N时,有对这样选定的n,从而必存在>0,从而得证毕机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院说明:(1)定理1表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数在区间[0,1]上处处收敛,而其和函数在x=1处不连续.机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院定理2.若级数则该级数在[a,b]上可逐项积分,且上式右端级数在[a,b]上也一

7、致收敛.证:因为机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院所以只需证明对任意一致有根据级数的一致收敛性,使当n>N时,有于是,当n>N时,对一切有因此定理结论正确.证毕机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数它的部分和因此级数在[0,1]上收敛于S(x)=0,所以但是①为什么对级数①定理结论不成立?分析它是否满足机动目录上页下页返回结束10/1/2021阜师院数科院定理2条件.级数的余项可见级数①在[0,1]上不一致收敛,此即定理2结论对级数①不成立的原因.机动目录上页下页返回结束

8、10/1/2021阜师院