结构力学——矩阵位移法

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1、结构力学第七节平面刚架受力分析1、离散化将结构离散成单元的分割点称作结点。634512结点的选择:转折点、汇交点、支承点、刚度变化、荷载作用点等编码：坐标系：XY135642（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）（1,2,3）（4,5,6）曲杆结构:以直代曲.变截面杆:以等截面杆代变截面杆。22、局部坐标系下的平面单元分析几何量：位移量：内力值：方向：建立单元杆端力和单元杆端位移的关系单元结点位移：单元结点力：第七节平面刚架受力分析31．纵向：在杆件两端加上人为控制的附加约束，然后根据指

2、定位移来推算杆端力。由假设知道，轴向受力状态与弯曲受力状态互不影响。第七节平面刚架受力分析刚度方程刚度矩阵42．横向：（由形常数得到）刚度方程第七节平面刚架受力分析5矩阵形式的刚度方程第七节平面刚架受力分析综合写成一般平面单元刚度方程：63．单元刚度矩阵的性质系数的物理意义：单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之关系；矩阵的阶数与位移分量数相等；表示引起的杆端力的大小。单元刚度矩阵一般具有奇异性：受力角度存在刚体位移；数学角度向量相关单元刚度矩阵具有对称性：由功的互等定理可知第七节平面刚架受力分析74．整体座标系下的平面单元

3、局部坐标系整体坐标系变换第七节平面刚架受力分析8矩阵形式的变换式第七节平面刚架受力分析变换矩阵具有正交性9由整体坐标系下单元刚度矩阵与局部坐标系下的单元刚度矩阵同阶且性质相同整体坐标系下的单元刚度方程整体坐标系下的单元刚度矩阵第七节平面刚架受力分析整体坐标系下的单元刚度方程的分块表示105、整体坐标系下单元刚度矩阵计算已知:求:各单元整体坐标系下单元刚度矩阵解:21ll第七节平面刚架受力分析11第七节平面刚架受力分析126、利用物理意义速算法令:则有:2第七节平面刚架受力分析131.结点力与结点位移的关系结点力结点

4、位移211(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)21第七节平面刚架受力分析14变形协调条件结点1平衡条件:结点2平衡条件:结点3平衡条件:21第七节平面刚架受力分析15第七节平面刚架受力分析16结构原始整体刚度方程第七节平面刚架受力分析172.结构原始整体刚度矩阵的形成采用“对号入座”的方法211(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)第七节平面刚架受力分析183.单元刚度矩阵子块在整体刚度矩阵中的分布规律主子块--主对角线上的子块.付子块--非主对角线上的子块.相关结点--有单元相连的结点.相关单元-

5、-与结点相连的单元称为该结点的相关单元.规律:(1)若i,j为相关结点,为连接i,j结点的单元单刚的相应付子块;若不是相关结点,(2)主子块为i结点的相关单元单刚主子块之和.第七节平面刚架受力分析194.整体刚度矩阵中元素的物理意义则有:若令:21第七节平面刚架受力分析20练习:求整体刚度矩阵中第四列元素第七节平面刚架受力分析2121(1).对称性：由反力互等定理5.原始整体刚度矩阵的性质(2).奇异性：没有考虑约束的结构的刚体位移无法确定(3).稀疏性：对于不相关的结点，对应的刚度系数等于零第七节平面刚架受力分析22

6、6.整体刚度矩阵的存贮634512135642（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）（1,2,3）（4,5,6）第七节平面刚架受力分析按带宽存贮23变带宽存贮变半带宽存贮等带宽存贮等半带宽存贮等半带宽计算公式:d=(相关结点最大差值+1)×单结点位移数634512135642（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）（1,2,3）（4,5,6）第七节平面刚架受力分析2419层12343940整体刚度矩阵占用存贮单元:整体刚度矩阵占用存贮单元:1233940

7、2120第七节平面刚架受力分析首先考察编码方式半带宽与结点编码有关如何减小带宽？25后处理法（置0置1法、置大数法）第七节平面刚架受力分析7.边界条件引入先处理法（已知0位移处位移码取0）26练习：求图示结构总刚度矩阵中元素EI、EA为常数，各杆长度相同。1(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)4(10,11,12)第七节平面刚架受力分析27一.离散化1.后处理法的结点位移编码(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(10,11,12)2.考虑轴向变形时先处理法的结点位移编码12343.不计轴向变形时先处理法

8、的结点位移编码(1,0,2)(0,3,4)(5,6,7)(0,0,0)1234(0,0,1)(0,2,3)(0,2,3)(0,0,0)1234习题讨论28二.单元分析1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程?2.单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵?3.单刚元素k23的物