结构力学课件-矩阵位移法

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1、第10章矩阵位移法结构力学Structuralmechanics1矩阵代数复习1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m行和n列，称为mn阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLéëêêêêêùûúúúúú2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n时，称为n阶方阵。3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=[]aaaan1112131···由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：A=aaam11211┇éëêêêêêêùûúúú

2、úúú24、纯量仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。5、矩阵乘法两个规则：（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即ABCplmplnmn´´´==当时才能相乘AB=aaaabb111221221121éëêùûúéëêùûú共形2×22×1BA=bbaaaa112111122122éëêùûúéëêùûú非共形2×12×2（2）不具有交换律，即AB¹BA36、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132éëêêêùûúúú其转置矩阵

3、为AT=éëêùûúaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若A=BCD则AT=DTCTBT7、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。若AB=0，但不一定A=0或B=0。4任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI=AIA=A510、逆矩阵在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若AB=C则B=A-1C此处A-1称为矩阵A的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：AA-1=A-1A=I矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵

4、是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵若一方阵A每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则A=cossinsincosaaaa-éëêùûú正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1=AT6§10-1概述矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。一、矩阵位移法的基本思路矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；

5、矩阵位移法的两个基本步骤是（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程7指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的座标与杆轴重合；12eEAIl(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向

6、。单元编号杆端编号局部座标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：81212（1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。9现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用“”表示，由位移求力称为正问题。在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e12eeeeee我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，

7、分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。§10-2单元刚度矩阵(局部座标系)进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。一、一般单元10eeeeeee分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由两个杆端轴向位移可推算出相应的杆端轴向力eeeee12其次，由杆端横向位移可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力eeee11eee将上面六个方程合并，写成矩阵形式：12EAl6EIl26EIl2EAl12EIl312EIl34EIl2EIl上面的式子可以用矩阵符号记为eeee这就是局部座标系中的单元刚度方程。e可求单元杆端力

8、ee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EIl206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2EAl-12EIl312EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只与杆件本身性质有关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵13二、单元刚度