行列式的性质与计算

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1、一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．如果某一行（列）元素全为0，则行列式为0.性质3互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式是由行列式变换两行得到的,于是则有即当时,当时,故证毕对换与排列的奇偶性的关系定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序

2、数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如性质6行列式任一

3、行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同关于代数余子式的重要性质例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解例2计算阶行列式解将第都加到第一列得例3证明证明证用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质思考题思考题解答解