吴大正信号与线性系统分析第7章系统函数

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1、第七章系统函数§7.1系统函数与系统特性系统函数的零、极点分布图系统函数H(·)与系统的因果性系统函数与时域响应系统函数与频率响应一、系统函数的零、极点分布图LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即A(.)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根1，2，…，m称为系统函数H(.)的零点。将零极点画在复平面上得零、极点分布图。例例：已知H(s)的零、极点分布图如图示，并且h(0+)=2。解：由分布图可得根据初值定理，有求：H(s)的表达式。二、系统函数H(·)与系统的因果性因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不

2、会出现于f(.)连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应h(t)=0,t<0或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0离散因果系统的充分必要条件是：单位响应h(k)=0,k<0或者，系统函数H(z)的收敛域为：

3、z

4、>ρ0之前的系统。三、系统函数H(·)与时域响应h(·)冲激响应或单位序列响应h(·)的函数形式:由H(·)的下面讨论H(·)极点的位置与其时域响应的函数形式:所讨论系统均为因果系统。1．连续因果系统H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面若系统函数有负实单极点p=–α(α>0)，则A(s)

5、中有因子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)极点确定。(b)若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)(c)若有r重极点，则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0→暂态分量。系统函数H(·)与时域响应h(·)系统的稳定性如何？系统稳定性问题？系统的稳定性如何？系统稳定：若系统对所有的激励

6、f(.)

7、≤Mf，其零状态

8、响应

9、yzs(.)

10、≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。（2）在虚轴上(a)单极点p=0或p12=±jβ，则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量(b)r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其（3）在右半开平面：均为递增函数。Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)→递增函数的。即

11、当t→∞时，响应均趋于0。系统稳定？态分量。系统稳定？③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？极点确定。结论复习：s域与z域的关系z=esT式中T为取样周期如果将s表示为直角坐标形式s=+j，将z表示为极坐标形式z=ej=eT，=T由上式可看出：s平面的左半平面（<0)--->z平面的单位圆内部（z=<1)s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)s平面的j轴（=0)--->z平面中的单位圆上（z==1)s平面上实轴（=0)

12、--->z平面的正实轴（=0)s平面上的原点（=0，=0）---->z平面上z=1的点（=1，=0）2．离散因果系统H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。根据z平面与s平面的影射关系，得结论：①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。系统稳定性？②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。系统稳定性？③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。系统稳定性？四、系统函数与频率响应1、连续系统若系统函

13、数H(s)的收敛域包含虚轴（对于因果系统，H(s)的极点均在左半平面），则系统存在频率响应，频率响应与系统函数之间的关系为H(jω)=H(s)

14、s=jω下面介绍两种常见的系统。（1）全通函数若系统的幅频响应

15、H(jω)

16、为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。（2）最小相移函数对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。2、离散系统若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆（对于因果系统，H(z)的极点均在单位

17、圆内），则系统存在频率响应，频率响应与