《偏微分与全微分》PPT课件

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3-2偏微分與全微分若考慮含有n個自變數x1,…,xn的函數則當x2,…,xn固定不變時，f可視為x1的函數，因此依照前面的定義，可得導數此稱為y對於x1的偏導數(partialderivative)以符號、fx1或f1表之。11、 例題3-7試求z=3x2-6xy2+ln(x2+y2+1)的偏導數函數，及在點(1,-1)之偏導數。解：=6x-6y2+=-12xy+=61-6(-1)2+==-12(1)(-1)+=12+=X2+y2+12xX2+y2+12y(1,-1)(1,-1)12+(-1)2+12112+(-1)2+12(-1) 例題3-8設某汽車工廠生產小客車與卡車的成本函數為C=0.12x2+0.04y2+0.04xy+320x+80y+30其中C代表成本(以百萬元為單位)，x、y分別代表卡車與小客車的生產數量(以千輛元為單位)。若目前的生產數量為x=500，y=1000，試求卡車與小客車的邊際成本(marginalcost)、，並解釋其意義。解：=0.24x+0.04y+320=0.24500+0.041000+320=480當生產小客車數量維持不變，每多生產一輛卡車，總成本增加480000元。=0.08y+0.04x+80=0.081000+0.04500+80=180當生產卡車數量維持不變，每多生產一輛小客車，總成本增加180000元。X=500Y=1000X=500Y=1000X=500Y=1000X=500Y=1000 在第3-1節中，導數所表示的是一個極限值，而不是兩個數量dy、dx的商。然而，若將符號看成dy被dx除時，卻能解釋許多的現象。因此我們先定義dx及dy的意義如下：由於f(x)=lim所以當增量x非常小時，yf(x)x若以dy,dx代替y,x，則得下面的定義： 設y=f(x)為一函數，(1)自變數x的微分(differential)dx是x的增量，即dx=x(2)因變數y的微分dy為dy=f(x)dx由上述定義可知，y的微分dy為x與dx的函數。又由於已知=f(x)，所以我們可將看成兩個微分dy、dx的商。再者，dy可當作y的近似值。也就是說，當x變動時，dy可視為因變數y的改變量。3-1 例題3-9設y=x3，當x=2，x=0.01時，y的真實變動值為y=f(x+x)–f(x)=(2.01)3–23=8.120601–8=0.120601若以微分dy來估計y，則在x=2，dx=0.01，dy=f'(x)dx=3x2dx=3(2)2(0.01)=0.12其誤差為0.120601–0.12=0.000601以上微分dy的概念可推廣至n個自變數的函數。 設y=f(x1,……,xn)，則我們稱dy為因變數y的全微分(totaldifferential)。3-2 全微分dy所表示的是當所有自變數x1,,xn一起變動而使得因變數y改變的量，因此當我們令dx1=x1,dx2=x2,,dxn=xn且x1,x2,,xn皆非常小時，y的增量y大約等於dy，即y 例題3-10設長方形兩鄰邊的長度分別為x=10及y=15，但測量不甚精確，所測得之x、y分別為10.1及15.2，試求長方形面積誤差的近似值。解：面積A=xydA=15(0.1)+10(0.2)=1.5+2=3.5若直接以x、y值代入求A，則A=(10.1)(15.2)–(10)(15)=153.52–150=3.52因此dA可視為A的近似值。 例題3-11假設某產品的產出量與投入x1、x2的關係式則第一種投入的邊際生產力(marginalproductivity)為若投入量分別為x1=120，x2=30，則產出量q=(120)1/2(30)1/2=(3600)1/2=(602)1/2=60又(120)-1/2(30)1/2====即當x2=30維持不變時，每增加投入x1一單位，大約可增加產出量0.25單位。q=x11/2x21/2x1-1/2x21/21/21/2 若將兩種投入同時增加一單位，則因=(120)1/2(30)-1/2===1即兩種投入同時增加一單位，則產出可增加1.25單位。若x1投入減少一單位，但希望產出水準維持不變(q=60)，即由得知dx2=0.25，即x2的投入量須增加至30.25單位。x11/2x2-1/21/21/2 設含有兩個自變數的函數為若自變數x與y亦為變數t的函數則z亦可視為t的函數。此時，可利用z的全微分除以dt，而求得一般而言，若函數為且此即多變數函數微分的連鎖法則。 又若x1,x2,…,xn是另外兩個變數r、s的函數，即則 例題3-12若z=x2y3，且x=，y=3t3則由連鎖法則=(2xy3)t+(3x2y2)(9t2)=[2(t2)(3t3)3]t+[3(t2)2(3t3)2](9t2)=27t12+t12=t12又，若將x=，y=3t3代入z=x2y3中，則得z=(t2)2(3t3)3=t13221212 例題3-13若，且時， 例題3-14ABC公司生產兩種產品：相機及軟片，其生產x個相機及y個軟片的成本函數為z=30x+0.15xy+y+900假設相機及軟片的需求函數分別為y=2000–r–400s其中r：相機價格，s：軟片價格。試求r=50,s=2時解：=(30+0.15y)+(0.15x+1)(-1)當r=50,s=2時，代入得2 設函數f的導函數為f'，若f'的導數亦存在，以f"表之，則稱f"為f的二階導函數(secondorderderivative)。若以符節表示一階導數時，則第二階導數以表之。一般而言，若n為大於2的正整數(n>2)，函數f第n階導數可定義為f的第n-1階導數之導數。通常使用下列符節表示d2ydx2dyndxn，f(n)(x)或Dnf(x) 例題3-15若，則222-2-2d2ydx2-2]=6(-2)(-3)(2-3x)-3=2322!(2-3x)-3d3ydx322-3]2=2333!(2-3x)-4dnydxndn-1ydxn-1=23nn!(2-3x)-(n+1) 若f為n個自變數的函數(n2)，我們亦可定義二階偏導數(secondorderpartialderivative)。例如一階偏導數二階偏導數可定義為和稱為混合偏導數(mixedorcrosspartialderivative)，若以上兩種混合偏導數皆為連續，則2222222222 例題3-16若z=x2y+x2y2+3xy則=2xy+2xy2+3y=x2+2x2y+3x22=2y+2y222=2x22(x2+2x2y+3x)=2x+4xy+32(2xy+2xy2+3y)=2x+4xy+3