《函数和映射》PPT课件(I)

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1、欢迎同学们高等数学初等数学研究对象：常量初等方法：有限的方法初等数学是用有限的方法研究常量的数学高等数学研究对象：变量（函数）研究方法：极限的方法高等数学是用极限的方法研究变量的数学绪一元微分学一元积分学多元微分学空间解析几何多元积分学级数常微分方程高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质第一节映射与函

2、数一、集合二、映射三、函数一、集合集合与元素之间的关系a∈M：若x是集合的元素；1.集合概念(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体，集合的元素通常用A，B，S，T等表示.元素:组成这个集合的事物集合的元素通常用a，b，x，y等表示.集合分为有限集和无限集.aM:若x不是集合的元素.(2)集合的表示法列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:如:N={全体自然数}，Z={全体整数}，Q={全体有理数}，R={全体实数}.(3)常用的集合记号如果，必有,则称A是B的子集，记为不含任何元素的集合，则称为空集记为Φ

3、.Φ是任何集合的子集.(4)集合的关系集合:集合A内排除0的集.集合:集合B内排除0与负数的集.若，且,则称A是B的真子集,记为.若，且,则称A与B相等,记为.2.集合的运算设A、B是二个集合，定义(A与B的并集)(A与B的交集)(A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.A的余集或补集记为:例如:在实数集R中则有设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.集合的运算法

4、则3.区间和邻域设a,b∈R,且a

5、.a二、映射1、映射的概念定义设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记为其中y称为元素x(在映射f下)的像,记作f(x),即y=f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即Df=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作Rf或f(X),即注意:(1)一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域Df=X集合Y,即值域的范围:对应法则f,使对每个有唯一确定的y

6、=f(x)与之对应.(2)对每个,元素x的像y是唯一的;对每个,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域是Y的一个子集,即,不一定.例1设,对每个,.显然,f是一个映射,f的定义域,值域它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2设对每个,有唯一确定的与之对应.显然,f是一个映射,f的定义域,值域Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上.例3设对每个,这里f是一个映射,其定义域,值域f称

7、为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素yf为X到Y上的单射:若对X中任意两个不同元素满射单射一一映射都是X中某元素的像.f为一一映射(或双射):若映射f既是单射又是满射.如:例1既非单射,又非满射;例2不是单射,是满射;例3既是单射,又是满射,因此是一一映射.它们的像映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.2

8、.逆映射与复合映射设f是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g即对每个规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射,记作其定义域值域注意:只有单射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:设有两个映射其中则可以确定一个从X到Z的映射,称为复合映射记作即注意:(1)映射g和f构成复合映射的条件:两者也不同时有意义.例4设有映射对每个对每个三、函数1.函数概念因变量自变量