《函数泰勒展开》PPT课件

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1、§10.4二元函数的泰勒公式就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备.三、极值问题一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式一、高阶偏导数如果它们关于x与y的偏导数也导数有如下四种形式:存在,说明具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏类似地可以定义更高阶的偏导数,例如的三阶偏导数共有八种情形:解由于例1因此有数为例2注意在上面两个例子中都有数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数它的一阶偏导数为数相等(称这种既有关于x,又有关于y的高阶偏导的混合偏导数:由此看

2、到,这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此式.由于因此有类似地有这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．连续，则证令于是有(4)(3)由(4)则有(5)如果令则有用前面相同的方法,又可得到(6)在且相等，这就得到所要证明的(3)式．合偏导数都与求导顺序无关．注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例由定理假设都在点连续,故当时,(7)式两边极限都存如三元函数的如下六个三阶混合偏导数若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般都

3、假设相应阶数的混合偏导数连续．复合函数的高阶偏导数设数同样存在二阶连续偏导数.具体计算如下:同理可得例3改写成如下形式:由复合函数求导公式，有自变量的复合函数．所以二、中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉也有相同的公式，只是形式上更复杂一些．先介绍凸区域若区域D上任意两点的连线都含于D,则称D为凸区域(图10.3-6).这就是说,若D为一切恒有上连续,在D的所有内点都可微,则对D内任意两定理8(中值定理)设在凸区域图10.3-6凸非凸的一元连续函数,且在(0,1)内可微.根据一元函数其中中值定理，，使得(10)(

4、9),(10)两式即得所要证明的(8)式．注若D为严格凸区域，即，都有式成立(为什么?)．公式(8)也称为二元函数(在凸域上)的中值公式.它与定理17.3的中值公式(12)相比较,差别在于这请读者作为练习自行证明此推论．分析将上式改写成例4对应用微分中值定理，证明存在某个之间应用微分中值定理．计算偏导数:证首先,当,有再定理9(泰勒定理)若在点内任一点内有直到阶的连续偏导数,则对其中证类似于定理8的证明，先引入辅助函数(11)式称为的n阶泰勒公式,并称其中而首项也可看作的情形.件，于是有由假设，上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则,

5、可求得的各阶导数如下:(12)公式(11)．将(13),(14)两式代入(12)式,就得到所求之泰勒时的特殊情形.此时的n阶泰勒公式可写作则仅需内存在n阶的连续偏导数即可,将它们代入泰勒公式(15)，即有与1、例7的结果(1.32)相比较，这是更接近于真微分近似相当于现在的一阶泰勒公式．三、极值问题多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用,这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义.若极大值点、极小值点统称极值点．的极大(或极小)值点.极大值、极小值统称极值;极注意这里讨论的极值点只限于定义域的内点．点,是g的极大值点,但不是h的极值点．这

6、是因同极值;也取相同极值.于是得到二元函数取极值的必要条件如下:定理10(极值的必要条件)若函数在点值(注由定义可见,若在点取极值,则当固存在偏导数,且在取得极值,则必有的稳定点.上述定理指出:偏导数存在时,极值点必是稳定点.但要注意:稳定点并不都是极值点．在例6中之所以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数的惟一稳定点；而对于函数h,原点虽为其稳定点,但却不是它的极值点.与一元函数的情形相同,多元函数在偏导数不存在原点没有偏导数,但(17)定点,则有如下结论:于是有证由在的二阶泰勒公式，并注意到条件二次型连续函数(仍为一正定二次型)首先证

7、明:当正定时，在点取得极小值．这是因为，此时对任何恒使极大值．由于因此在此有界闭域上存在最小值，于是有即在点取得极小值．亦取则沿着过的任何直线最后证明:当为不定矩阵时,在点不极小值,则将导致必须是正半定的.也就是的或负半定的，这与假设相矛盾．这表明必须是负半定的.同理,倘若取系，定理11又可写成如下比较实用的形式——根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关若如定理11所设，则有如下结论:是否取得极值．解由方程组例7取得极小值;取得极大值;例8讨论是否存在极值．得极值?因，故原点不是的极值点.又因处处可微，所以没有极值点.解容易验证原点是

8、的稳定点,且故由定理11无法判断在原点是否取得极值．但因为在原点的任意小邻域内,当时由极值定义知道,极值只是函数的一个局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法与一元函数问题一样