泰勒展开定理ppt课件.ppt

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1、泰勒中值定理B.Taylor1685-1731英国问题的提出——函数值的近似计算（如下图）以平直代曲以切直代曲不足之处是十分明显的:2、精确度不高；1、x的取值只能在x0的近旁；3、误差不能估计。因此，在进行函数值的近似计算时，仅仅考虑“以直代曲”是不够的。如果能够“以曲代曲”，那效果应该要好多了。问题的解决:分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交泰勒(Taylor)中值定理(1712年)证明:拉格朗日型余项泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理除了拉

2、格朗日形余项，常见的还有Cauchy形余项。Taylor中值定理对我们初学者而言，似乎有些让人望而生畏，不过仅仅是其公式形式较复杂，证明看起来较麻烦。其实，从方法上来讲，定理证明只是Cauchy微分中值定理的多次重复运用而已。有了Taylor中值定理中的这种带有定量性质的余项之后，我们就可以在较大范围内(而不只是一个给定点x0的近旁)来研究用多项式逼近函数f(x)的误差。特别地，如果在这个范围内f(n+1)(x)有界并且能给出

3、f(n+1)(x)

4、的一个尽可能小的上界时，好处就显现出来了。麦克劳林(Ma

5、claurin)公式Maclaurin公式是Taylor中值定理的特殊形式，但却是独立于Taylor中值定理并且迟于它被提出来的。Maclaurin1698-1746英国麦克劳林(Maclaurin)公式虽然Maclaurin公式是Taylor中值定理的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，可是由于Maclaurin公式使用方便，因此在数学分析中常将此二结论相提并论。解拉格朗日型余项例2可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以其Maclaurin展开式中的多项式部分没有偶数次项。另外，对于我们初学者来说，

6、在给出函数的Taylor展开式或者Maclaurin展开式时，我们要知道有一个余项存在，也就是说一个一般的函数不与一个n次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别用余项来体现。但是余项的给出是比较麻烦的，具体的表达式我们现在可以不用考虑太多，首先着重于多项式部分。极好的近似结果播放可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以sinx的Maclaurin展开的表达式中只有x的奇数次方项，并且所以我们可以通过这种方式来很快捷地掌握cosx的Maclaurin展开式所以，我们可以得到用n次多项式来近似表示正弦、余弦函

7、数的近似计算结果，而且可以看到，随着n的增大，近似效果就越来越好，x的取值范围就可以随之而扩大。例3我们需要注意到，并不是只要提高Taylor多项式的次数，就能不断地改进对函数的逼近程度。以一个著名的例子来说明：此时的余项称为是皮亚诺(Peano)型余项,函数的带皮亚诺型余项的展开式主要用于函数的极限计算,并且对函数的要求也可以适当降低.Theorem2如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n阶导数,则在(a,b)内当xx0时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项R

8、n(x)之和:例4求极限解Taylor公式Maclaurin公式泰勒(Taylor)中值定理例5解这就是所谓的“间接展开”。一些常用的简单函数的Taylor展开式或者Maclaurin展开式常用简单函数的麦克劳林公式例6证明本题的证明方法挺多，这里仅介绍用Taylor中值定理来证明的方法。(其他做法请同学们自己思考。)证明法二备注:2.我十分欣赏的中国科大的常庚哲、史济怀先生编著的《数学分析教程》中作者说：掌握了Taylor定理之后，回过头去看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中，使你有一种“会当凌

9、绝顶，一览众山小”的意境。从这个意义上说“Taylor定理是一元微分学的顶峰”，并不过分。1.在微分学中，凡是牵涉到高阶导数的问题，大部分都可以用Taylor中值定理来解决。