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1、3.3.3函数的最大（小）值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数9/16/20212二、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极
2、小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点9/16/20213(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。三、用导数法求解函数极值的步骤：9/16/20214求下列函数的极值:练一练（3）函数的极值点为x=0,对吗？结论：导数值为0的点是该点为极值点的条件.必要不充分xoy9/16/20215（1）确定函数的定义域，求导数f/(x)；（2）解方程f/(x0)=0；（3）列表，根据表格求出极值总结:求函数极值的步
3、骤9/16/20216例2：设，在和处有极值，且=－1,求，的值，并求出函数的极值。，，9/16/202179/16/20218思考:下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x69/16/20219在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
4、小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。9/16/202110知识回顾一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1．最大值（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值9/16/2021112．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值9/16/202112阅读课本判断下列命题的真假：1.函数在其定义域上的最大值与最小
5、值至多各有一个；2、最大值一定是极大值；3、最大值一定大于极小值；xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)讲授新课9/16/202113例1求函数在区间上的最大值与最小值．解：令，有，解得1345413y+0—0+0—2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当x变化时，的变化情况如下表：从表上可知，最大值是13，最小值是4．9/16/202114归纳结论：（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是
6、如此（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如何求最值？只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可求最大值、最小值9/16/202115例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x-1（-1,2）2（2，4）40-+83-1故函数f(x)在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1例题讲解
7、9/16/202116一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)9/16/2021171、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理练习9/16/2021181、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最值故函数f(x)在区间[1，5]内的最大值为11，最小值为2法二
8、、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1,2）2（2,5）
