《函数连续》PPT课件

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1、一元函数微积分学一元函数的极限微分学积分学1第一章函数的极限1.2函数的极限1.1函数的概念1.3函数的连续性21.1函数的概念1.1.1函数的定义1.1.2分段函数1.1.3有界函数1.1.4复合函数31.1.1函数的定义数集D叫做这个函数的定义域.因变量自变量定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，如果对于每个数x,变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作4函数的两要素:定义域、对应法则.对应法则f自变量因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.5基本初等函数幂函数类6指数函数类7对

2、数函数类8正弦函数三角函数类9余弦函数10正切函数11余切函数12正割函数13余割函数14反三角函数类1516173.1.2分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.183.1.3有界函数则称f(x)为有界函数.定义若存在M>0,对任意的x，有例如，正弦函数是有界函数.因为，有常数M=1，使得19正弦函数203.1.4复合函数21例122初等函数由常数和基本初等函数经过有限多次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.微积分研究的主要对象是初等函数.231.

3、2函数的极限1函数极限的定义2极限四则运算法则3复合函数的极限241极限概念25无穷小量、无穷大量的定义的无穷小量.即无穷小量是以零为极限的变量.若，则称函数是当时若，则称函数是当时的无穷大量.即无穷大量是以为极限的变量.26例如,27极限概念（续）右极限左极限若函数的极限是一个有限数，则称函数的极限存在.28左、右极限的定义若且时，函数以A为极限，若且时，函数以A为极限，则称A为函数在点处的右极限.记为则称A为函数在点处的左极限.记为且定理129极限不存在极限概念的分类极限存在30注解4.若函数的极限存在，则其极限是惟一的.(2)

4、.函数的极限值仅与函数在自变量的极限点附近的值有关！(1).一个极限问题由函数的极限和自变量的极限两个部分构成，函数的极限值依赖于自变量的极限，因此函数的极限与自变量的极限有关！(3).函数在某点的极限存在的充分必要条件是函数在该点的左、右极限存在且相等，即312极限的四则运算法则32极限法则（续）33无穷小量与无穷大量的性质性质2有限个无穷小量的积仍然是无穷小量.性质1有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量．性质3有界量与无穷小量的积仍是无穷小量.性质4无穷小量()的倒数是无穷大量.反之，无穷大量的倒数是无穷小量.34例335例43

5、6例5解37例638例739例840例941例10423复合函数的极限43两个重要极限44例1145例1246例1347例1448幂指函数的极限49例1550511.3函数的连续性定义性质52函数连续的定义53例16证由定义知54例17解55定义（续）在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.56性质性质1连续函数的和、差、积、商、复合仍然是连续函数.性质3闭区间[a,b]上的连续函数一定有最大值与最小值.性质2一切初等函数在其定义域内是连续的.57