《动量传递过程选论》PPT课件

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1、传递过程典型问题的解动量传递过程选论§4.2应用流函数方法求解二维流动问题（1）迄今为止，我们求解的流动问题都是一维问题，只包含一个非零速度分量。但大量实际流动问题涉及多维流动，需要运用特殊的数学方法和技巧求解。求解不可压缩流体二维流动问题的一种广泛应用的数学技巧是流函数方法。在此方法中，通过引进一个新的变量——流函数，减少了控制方程组里的因变量数目，从而使数学模型比原有形式大大简化，更易于求解，尤其是更有利于用数值方法求解。在直角坐标系下，常物性牛顿流体二维流动的变化方程组为：§4.2应用流函数方法求解二维流动问题(2)包含了三个自变量(t,x,y)和三

2、个因变量(vx,vy,P)。(b.1)(b.2)(b.3)在微分方程课程中，我们曾学习过一类称为全微分方程(exactdifferentialequation)的变系数常微分方程:§4.2应用流函数方法求解二维流动问题(3)则必然存在二元连续函数f(x,y)满足其系数满足判别式(b.4)(b.5)(b.6,7)函数f的全微分为§4.2应用流函数方法求解二维流动问题(4)回到常物性牛顿流体二维流动问题，令由方程定义的y~x隐函数即是全微分方程的解。则有(b.8)(b.9)(b.10,11)(b.12,13)以及§4.2应用流函数方法求解二维流动问题(5)根据

3、连续性方程，上式右侧的值等于零。于是必然存在二元连续函数(x,y)满足如果我们得到了的表达式，通过求偏导数很容易得到vx和vy。函数被称为流函数。很显然，我们可以用求解来代替同时求解vx和vy。(b.14)(b.15,16)把与vx和vy的关系代入变化方程组,有§4.2应用流函数方法求解二维流动问题(6)连续性方程自动满足，可以从方程组中删去。(b.17)(b.18)(b.19)将式(b.18)对y求导和将式(b.19)对x求导，有§4.2应用流函数方法求解二维流动问题(7)(b.20)(b.21)从式(b.21)中减去式(b.20)，得到(b.

4、22)由上可见：控制方程已经从包含三个因变量(vx,vy,P)的三个方程(b.1～b.3)减少为只含一个因变量()的单个方程(b.22)。这是一个巨大的简化！通过求解这个简化的数学模型得到流函数后，只需对流函数求导就能得到速度函数。教材第123页的表4.2-1列出了不同坐标系下应用流函数得到的控制方程形式，我们可根据具体案例按需选用。§4.2应用流函数方法求解二维流动问题(8)三个坐标系下的流函数方程问题描述:一个球体在大空间中的牛顿流体中缓慢下落。求解当球体以恒定速度下落时流体和球体的运动状态。例4.2-1环绕球体的爬流(1)1.物理模型:1)由于球体

5、运动引起的流体物性变化很小，因而可以有效地假设流体的密度和粘度为常数。例4.2-1环绕球体的爬流(2)2)当从固定在地球上的参考系观察时，这个过程是非稳态流动。但如果从固定在球体上的参考系观察，则表现为稳态流动。由于后者仍然是一个惯性参考系，因而前面所导出的运动方程在该参考系中依然成立。通过选择固定在球体上的参考系，我们将问题转化成为环绕一个固定球体的稳态流动。例4.2-1环绕球体的爬流(3)3)因为过程在大空间中进行，在有限的时间里，球体引起的流体扰动并没有到达空间的外边界，我们不妨把外边界延拓到无限远处。4)因为流体流动的速度很小(即所谓爬流)，所

6、以运动方程中的惯性项(与速度平方有关的项)均可省略。5)流动具有轴对称性。例4.2-1环绕球体的爬流(4)2.数学模型:1)选用右图所示的球坐标系。2）根据物理模型中的第1)点和第5)点，可以从表4.2-1中的最后一行得到此问题的控制方程：例4.2-1环绕球体的爬流(5)根据物理模型中的第2)点，方程左侧的第一项等于零。根据物理模型中的第4)点，方程左侧色其它项均可省略，于是(4.2-2)式中的微分算子E可以展开成表达式(4.2-3)例4.2-1环绕球体的爬流(6)式(4.2-3)的边界条件应该从边界处的速度导出：根据关系式我们得到球表面的边界条件：(4.

7、2-4)(4.2-5)例4.2-1环绕球体的爬流(7)(4.2-6)对B.C.3’积分得到比较两式，我们有式中C是一个任意常数，不妨取为零。对B.C.4’积分得到例4.2-1环绕球体的爬流(8)分离变量法3.数学模型求解1)分离变量B.C.3提示我们流函数可能具有以下形式：(*)其中将其代入式(4.2-3)，我们有(4.2-7)例4.2-1环绕球体的爬流(9)分离变量法所以式(*)可以写作(4.2-9)这是一个欧拉方程，其通解为将其展开，我们有(4.2-8)根据B.C.3,(4.2-10)及然后(4.2-11)(4.2-12)根据B.C.1和B.C.2,及

8、例4.2-1环绕球体的爬流(10)分离变量法例4.2-1环绕球体的