集合的概念与基本运算

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1、第一章集合1主要内容一.集合的概念二.集合的基本运算三.集合的宏运算四.集合运算的其他表示法21.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合的元素。注：如果x是集合A的元素，则记为xA。集合的表示方法：列元素法和谓词表示法列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定规律的无限集。如：A={a，b，…，z}Z={0，-1，1，-2，2，…}D={a，{a}，{a，b}}集合中的元素还可以是集合。谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。如：B={x

2、x∈R∧(x-1=0)}描述法={x

3、F(x)∧G(x)}谓词描述法设F(x):x∈R,G(x):x-1

4、=0.集合的性质：（1）集合的元素是彼此不同的，相同的元素应该认为是同一个元素。（2）集合的元素是无序的。如：{1，2，3}={2，3，1}一.集合的概念3注：元素与集合的关系是属于∈和不属于。集合与集合的关系是包含和不包含.2.子集合:若集合B中的元素都在集合A中，则称B是A的子集合(简称子集)。这时也称B被A包含，或A包含B。记为BA。如果B不被A包含，则记为BA。注：(1)包含的符号化：BAx(xB→xA)。(2)对任何集合A，都有AA。3.集合的相等:如果AB且BA,则称集合A与B相等，记为A=B。注：相等的符号化：A=BAB∧BA。4.真子集：对

5、符号A,B,若BA且BA,则称B是A的真子集,记为BA。如果B不是A的真子集，则记为BA。注：真子集的符号化：BA(BA)∧(BA)。45.空集：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø注:1.空集的符号化：Ø={x

6、xx}。2.空集是一切集合的子集。3.空集是唯一的。6.基数：当集合元素只有有穷个时，称集合A中元素的个数为该集合的基数，记作

7、A

8、。例设A={1,2,3},求A的所有子集合。7.集合A的幂集：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A。注:(1)幂集的符号化：P(A)={B

9、BA}(2)

10、2A

11、=2

12、A

13、续设A={1,2,3},求P(A)。8.全集

14、：如果一个问题中所涉及的集合都是某一集合的子集，则称该集合为全集。全集一般记为E。注：不同问题有不同的全集，同一问题也可以取不同的全集。一般总是将全集取得尽可能小，以便描述和处理问题更加简便。5例：求下列集合的幂集合。(1){Ø,{Ø}}(2){Ø{Ø}}(3){{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解：(1)P({Ø,{Ø}})={Ø,{Ø},{{Ø}},{Ø,{Ø}}}.(2)P({Ø{Ø}})=P({{Ø}})={Ø,{{Ø}}}.(3)P({{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}})=P({{1,2}})={Ø,{{1,2}}}.例：判断真伪。(1){x}

15、{x}(2){x}∈{x}(3){x}∈{x,{x}}(4){x}{x,{x}}(5){x}{x}x(6)若x∈A,A∈P(B),则x∈P(B)(7)若xA,AP(B),则xP(B)6定理1：A≠Ø，B≠Ø,A=B2A=2B。证明:(1)已知A=Bx∈2AxAxBx∈2B2A2B同理2B2A。故2A=2B(2)已知2A=2Bx∈A{x}A{x}∈2A{x}∈2B{x}Bx∈BAB.同理可证BA。故A=B证毕。7（一）集合的三种常用运算设A,B是集合1.A的补集(或称绝对补)：A′=～A=E–A={x

16、xE∧xA}2.A与B的并：A

17、∪B={x

18、xA∨xB}3.A与B的交：A∩B={x

19、xA∧xB}注:(1)“并”和“交”运算可以推广到有（无）限个集合：二.集合的基本运算8设A,B,C是集合，则下列运算律成立：1.幂等律：A∪A=A,A∩A=A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)5.同一律：A∪Ø=A,A∩E=A6.零律：A∪E=E,A∩Ø=Ø7.排中律：A∪～A=E8.矛盾律：A∩～A=Ø9.吸收律：A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A1

20、0.德摩根律：A–(B∪C)=(A–B)∩(A–C),A–(B∩C)=(A–B)∪(A–C)～(B∪C)=～B∩～C,～(B∩C)=～B∪～C～Ø=E,～E=Ø11.双重否定律：～(～A)=A(二).集合恒等式9其它重要运算性质：1.A∩BA,A∩BB2.AA∪B,BA∪B3.A∪B=BABA∩B=AA–B=Ø4.AC且BCA∪BC5.CA且CBC(A∩B)10例证明A–(B∪C)=(A–B)∩(A–