《复变函数》PPT课件

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1、第四章级数主要内容本章主要包括：1、复数项级数;2、幂级数的概念、性质及其敛散性的判定;3、解析函数展开为泰勒级数;4、解析函数展开为洛朗级数.§2、幂级数§3、泰勒级数§4、洛朗级数§1、复数项级数§1复数项级数2、复数项级数1、复数列的极限1、复数列的极限定义记作复数列收敛的条件那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证从而有所以同理反之,如果从而下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解:例1、所以数列发散.定义表达式称为复数项级数.2、复数项级数称为级数的部分和.部分和：若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数

2、s为极限,即：复数项级数的收敛与发散（敛散性）则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.总结：与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:定理4.1设n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:分别收敛于a及b.复数项级数收敛的条件实数项级数注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数的审敛问题分别收敛于a及b结论：解：（1）例2、下

3、列级数是否收敛？所以原级数发散故原级数收敛,且为绝对收敛.（2）因为所以由正项级数的比值判别法知:正项级数的概念：若级数中各项都是非负的(即)，则称该级数为正项级数。正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。补几个典型的正项级数：（1）等比级数：在时收敛，q≥1时发散。（2）p级数：在p＞1时收敛，p≤1时发散。补基本审敛法1、比较审敛法：对正项级数(1)如果，则有结论：补（2）如果极限则当时两级数同敛散；如果极限为0，则如果极限为，则补比值判别法、根值审敛法：若正项级数适合则当时级数收敛；当（也包括时）级数发散；当时无法判定

4、补推论2收敛级数的各项必是有界的.推论1收敛级数的通项必趋于零:(事实上，取p=1,则必有

5、an+1

6、<ε)，常用其等价命题：不存在，则级数(4.1)发散推论3若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原级数同为收敛或同为发散.例3解级数满足必要条件,但定义若级数收敛,则原级数称为绝对收敛;非绝对收敛的级数,称为条件收敛.绝对收敛与条件收敛定理：如果收敛，那么也收敛，且不等式成立例4故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解§2幂级数1、复变函数项级数2、幂级数3、收敛圆与收敛半径4、幂级数收敛半径的求法

7、5、幂级数的运算和性质定义设复变函数项级数的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:复变函数项级数收敛的定义1、（1）复变函数项级数例题：关于复变函数项级数的和函数s(z)（或f(z)）:则：结论：当s(z)存在且不为无穷时，级数收敛，否则级数发散。例求幂级数的收敛范围与和函数.解：级数的部分和为级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,结论用于，将一个函数展开成幂级

8、数的形式。即：（1）定义：具有形式的复函数项级数称为幂级数,其中c0,c1,c2,…,a都是复常数.若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式2、幂级数（2）（1）关键是通项系数（2）幂级数的敛散性：定理一（阿贝尔定理）：如果幂级数(2)在某点处收敛,对于的，幂级数（2）绝对收敛若幂级数(2)在处发散,对于的，幂级数（2）必发散。（3）、幂级数收敛圆与收敛半径由阿贝尔定理知，幂级数的收敛域是这样一个圆域，在此圆域内，级数绝对收敛；在圆域外，级数发散。称此圆域的圆周为幂级数的收敛圆，收敛圆的半径为收敛半径.幂级数在其收敛圆上的敛散性

9、不能作一般的结论。对于给定的幂级数，将收敛圆的点带入到该级数中，利用判别复数项级数敛散性的方法作具体的判定。若收敛半径，则收敛域退缩为一点；若，则幂级数的收敛域为整个复平面。..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域：收敛圆周而对于的，幂级数是发散的..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以点为中心的圆域：收敛圆周而对于的幂级数是发散的定理二.如果幂级数(2)的系数cn满足（4）、幂级数的收敛半径的求法达朗贝尔比值法或柯西根值法R=1/l(l≠0,l≠+∞)0(l=+∞);+∞(l=0).则幂级数的收敛半径为:例2求下列

10、幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)解(1)因为或(2)(并讨论时的情形)（3）所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,是收敛的，因为这是级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数这个例子表明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数