复变函数 课件.ppt

《复变函数 课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点§1.解析函数的洛朗(Laurent)展式§2.解析函数的孤立奇点§3.解析函数在无穷远点的性质§4.整函数与亚纯函数的概念1.1双边幂级数1.2解析函数的洛朗展式1.3洛朗级数与泰勒级数的关系1.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式§1.解析函数的洛朗(Laurent)展式引言：由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域z-z0

2、2内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？（本章要讨论的问题）例如:由此推想，若f(z)在R1<z-z0

3、外发散。z0R1R2z0R2R1定理5.1(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,1.2解析函数的洛朗展式定理证明由复连通域上的Cauchy积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：证毕！注：(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛

4、朗级数的解析部分和主要部分。展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。事实上，Dz0R1R2cDz0R1R2c由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系数的方法。1.3洛朗级数与泰勒级数的关系一个函数f(z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。此时的圆可以看成圆环的特殊情况。其中的都等于零(由系数公式可看

5、出)。因此泰勒级数是洛朗级数的特殊情况。例1xyo12xyo12xyo12解:没有奇点(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：例2解1.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义~~~~~~~~~例3解例4解解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo12(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：(2)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成

6、洛朗(Laurent)级数。(3)Laurent级数与Taylor级数的不同点：Taylor级数先展开求R,找出收敛域。Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数。