4-2 换元积分法

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1、课时授课计划副页年月日教学过程及授课内容附注4-2换元积分法教学过程一、换元积分法1．第一换元积分法(凑微分法)例1求.解被积函数是复合函数，不能直接套用公式我们可以把原积分作下列变形后计算.直接验证得知，计算方法正确。例2求．解注意到被积式中含有项,而余下的部分恰有微分关系：。于是类似于例1,可作如下变换和计算：上述解法的特点是引入新变量,从而把原积分化为关于的一个简单的积分，再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式中，将换成了,对应得到的公式是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：定理如果，则其中是

2、的任一个可微函数。证由于,所以．根据微分形式不变性,则有：第8页．其中是的可微函数，由此得这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，自变量换成任一可微函数后公式仍成立。这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一结论，上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程序：这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法．例3求.解设得,例4求．解例5求．第8页解．凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成,这需要解题经验，如果记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示。．下面的例子

3、,将继续展示凑微分法的解题技巧。例6求下列积分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解（1）=第8页类似得(2)(3)类似得(4)(5)类似得(6)．本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用。例7求下列积分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)．解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形．（1）（２）第8页（３）（４）（５）（６）（积化和差）例8计算积分解一第8页解二因为所以本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果。２．第二换元积分法第一换元积分方法是选择新的积分变量但对有些

4、被积函数则需要作相反方式的换元，即令把作为新积分变量，才能积出结果，即这种方法叫第二换元法。使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数对于要求其单调可导，且其反函数存在．下面通过一些例子来说明。例9求.解为了消去根式，可令则于是第8页例10求．解令即则代入后，得由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式为一次式的根式时,令可以消去根号，从而求得积分．下面重点讨论被积函数含有被开方因式为二次式的根式的情况．例11求解作三角变换，令那么于是为把t回代成x的函数，可根据,作辅助直角三角形（如右图），得。所以.例12求

5、.第8页解令所以．由下图所示的直角三角形，得故一般地说，当被积函数含有(1)，可作代换；(2)，可作代换；(3)，可作代换．通常称以上代换为三角代换，它是第二换元法的重要组成部分，但在具体解题时，还要具体分析，例如，就不必用三角代换，而用凑微分法更为方便。第8页