《换元积分法》word版

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1、第五章不定积分第二节换元积分法（1）第二节换元积分法求解不定积分，能应用直接积分法的函数不多，因此，有必要进一步研究不定积分的求解方法。1、换元积分法的基本思想应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。其实，换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。回顾复合函数的微分手法，是将复合函数的复合变量替换为简单变量，然后应用简单函数的微分方法得，应用替换法，同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分：于是，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。换元积分法通常分两类：第一类换元法和第二类换元法。第一类换元法是将复杂变量替换

2、为简单变量：，从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分；第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量：，从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。下面分别进行分析。一、第一类换元法(P210)1、第一类换元法的积分思路第一类换元法并非一种独立存在的积分方法，它建立在直接积分法的基础上，依赖直接积分法去最终完成积分。或者说，它以换元法为主要手段，以直接积分法为解决积分的最终方法。第五章不定积分第二节换元积分法（1）换言之，第一类换元法的积分思路，就是将含复合函数的积分转换为简单函数的积分，从而应用直接积分法解决问题。2、

3、第一类换元法的基本公式定理1设具有原函数，可导，则有换元公式或为公式的要点：①可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构：或②换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换：一个是复合函数的第一中间变量，一个是微分函数中的待微分函数。③换元后得到的积分式必须是简单函数的积分，如果仍含有复合函数，那么换元失败或复合变量认定错误。3、第一类换元积分法的步骤分解第一类换元法的基本公式在具体运用时，有许多技巧性手法，一下子不容易掌握，但万变不离其宗，根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。为准确理解和掌握第一类换元法的基本公

4、式，下面进行分解说明。第一类换元法的积分过程分为五个步骤：特征判断，凑微分，变量代换，直接积分，变量回代。下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。第一步骤：特征判断——检查被积函数是否适合应用第一换元法第一换元法要求被积函数具有结构特征：第五章不定积分第二节换元积分法（1）或亦即被积式可分解为具有乘积关系的两个部分：①复合函数；②该复合函数中间变量的微分或，注意：这里所指的中间变量，与求复合函数导数内容中的中间变量是一致的，专指去掉函数最外层后所得到的复合变量。于是，积分的第一步，就是要求被积函数可分解为具有上述

5、特征的两个部分。若不能实现上述分解，则不可应用第一类换元积分法进行积分。由于第一类换元积分法要求被积函数中含有复合函数，所以又可以将第一类换元积分法称为复合函数积分方法。【例1】积分可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式可分解为复合函数与微分部分之积，该微分部分恰为其中间变量的微分，符合第一换元积分公式的结构特征，说明可以应用第一换元法进行积分。【例2】积分可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式可分解为复合函数与微分部分之积，该微分部分与其中间变量的微分对比仅差一常数倍2，由于可变形为，由上【例1】知，

6、该积分可以应用第一换元法进行积分。【例3】积分可否应用第一换元法进行积分？【分析】被积式可分解为复合函数与微分部分第五章不定积分第二节换元积分法（1）之积，该微分部分与其中间变量的微分对比相差一变量，不符合第一换元积分公式的结构特征，于是该积分不可以应用第一换元法进行积分。注意：①可以对积分号内外乘、除同一常数，使其符合公式结构要求；②不可将积分式中的变量抽到积分符号外面，或对积分号内外乘、除同一变量，强行将积分式“整理”成为结构上符合第一换元法要求的形式！第二步骤：凑微分——将积分式整理成为换元前的形式第一类

7、换元法在将积分式整理为可换元形式时常须进行凑微分。凑微分，即为将积分式中的微分部分，整理成为中间变量的微分形式时所应用的运算手法。运算时，将微分部分与中间变量的微分结果相对比，是“凑”的关键。正因为第一类换元积分法的这一重要而关键的运算手法，常将第一类换元积分法称为凑微分法。【例4】对积分进行凑微分，将积分式整理为第一换元法公式的结构。【解】积分式中的微分部分为，复合函数部分的中间变量的微分为两部分恰相等，即得【例5】对积分进行凑微分，将积分式整理为第一换元法公式的结构。第五章不定积分第二节换元积分法（1）【解

8、】积分式中的微分部分为，复合函数部分的中间变量的微分为，两部分相差一个常数2，将原积分式恒等变形，使得微分部分为，即第三步骤：变量代换——将复合函数的可换元结构代换为简单函数的积分。第一类换元积分法的换元手段为：将复合函数的中间变量，以及微分函数中的变量，一致转换为简单变量u，即令，将复合函数的积分变换成为简单函数的积分，从而可通过直接积分解决问题。第一类换元积分法正是由此而得名。【例